Cos^2x - 1/2sin2x + cosx = sinx

Для начала рассмотрим уравнение по отдельности: cos^2x - 1/2sin2x + cosx = sinx

Заметим, что sin2x = 2sinxcosx. Тогда заменим sin2x в уравнении: cos^2x - sinxcosx + cosx = sinx

Теперь подставим cos^2x = 1 - sin^2x и cosx = √(1 - sin^2x) в уравнение: 1 - sin^2x - sinx√(1 - sin^2x) + √(1 - sin^2x) = sinx

Упростим уравнение: 1 - sin^2x - sinx√(1 - sin^2x) + √(1 - sin^2x) = sinx 1 - sin^2x - sinx√(1 - sin^2x) = sinx - √(1 - sin^2x) 1 - sin^2x - sinx√(1 - sin^2x) = sinx - √(cos^2x) 1 - sin^2x - sinx√(1 - sin^2x) = sinx - cosx

Таким образом, расширенный ответ на уравнение cos^2x - 1/2sin2x + cosx = sinx будет: 1 - sin^2x - sinx√(1 - sin^2x) = sinx - cosx

Для решения уравнения ( \cos^2 x - \frac{1}{2} \sin 2x + \cos x = \sin x ), давайте разберём его шаг за шагом.

1. Используем тригонометрические тождества:

   • Мы знаем, что ( \sin 2x = 2 \sin x \cos x ). Подставим это в уравнение: [ \cos^2 x - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) + \cos x = \sin x ] Упрощаем: [ \cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x = \sin x ]

2. Переносим все члены на одну сторону уравнения: [ \cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x - \sin x = 0 ]

3. Группируем и упрощаем выражение:

   • Заметим, что можно сгруппировать некоторые члены: [ (\cos^2 x + \cos x) - (\sin x \cos x + \sin x) = 0 ]
   • Вынесем общий множитель из каждой группы: [ \cos x (\cos x + 1) - \sin x (\cos x + 1) = 0 ]
   • Видим, что можно вынести ((\cos x + 1)) за скобки: [ (\cos x + 1)(\cos x - \sin x) = 0 ]

4. Исследуем каждый множитель:

   • ( \cos x + 1 = 0 ): [ \cos x = -1 ] Это равенство выполняется, когда ( x = \pi + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

   • ( \cos x - \sin x = 0 ): [ \cos x = \sin x ] Это равноство выполняется, когда ( x = \frac{\pi}{4} + n\pi ), где ( n ) — целое число, так как углы ( x = \frac{\pi}{4} ) и ( x = \frac{5\pi}{4} ) являются решениями основного периода.

Итак, решения уравнения:

• ( x = \pi + 2k\pi )
• ( x = \frac{\pi}{4} + n\pi )

где ( k ) и ( n ) — целые числа.