Cos2x-5 sqrt 2 cosx-5=0 [-3п;-3п/2]

Для того чтобы решить уравнение Cos2x - 5√2cosx - 5 = 0 на интервале [-3π; -3π/2], давайте преобразуем его сначала.

Заметим, что Cos2x = 2Cos^2x - 1. Таким образом, уравнение преобразуется в 2Cos^2x - 1 - 5√2cosx - 5 = 0.

Обозначим Cosx за t. Тогда уравнение примет вид 2t^2 - 5√2t - 6 = 0.

Далее, решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-5√2)^2 - 42(-6) = 50 + 48 = 98.

Так как D > 0, у нас есть два корня: t1 = (5√2 + √98)/4 и t2 = (5√2 - √98)/4.

Подставим значения обратно: Cosx1 = (5√2 + √98)/4 и Cosx2 = (5√2 - √98)/4.

После этого найдем арккосинус от этих значений, чтобы найти x.

x1 = arccos((5√2 + √98)/4) и x2 = arccos((5√2 - √98)/4).

Однако, необходимо учесть, что значения арккосинуса находятся в пределах [0; π]. Поэтому для интервала [-3π; -3π/2] мы должны выбрать только те корни, которые лежат в данном диапазоне.

Таким образом, решение данного уравнения на интервале [-3π; -3π/2] будет зависеть от конкретных значений Cosx1 и Cosx2, и последующего подсчета арккосинуса от них.

Корни уравнения Cos2x-5sqrt(2)cosx-5=0 в интервале [-3п;-3п/2] равны x=-2п.

Для решения уравнения (\cos(2x) - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0) начнем с того, что воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: [ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 ] Тогда уравнение принимает вид: [ 2\cos^2(x) - 1 - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0 ] Приведем уравнение к квадратному относительно (\cos x): [ 2\cos^2(x) - 5\sqrt{2}\cos x - 6 = 0 ] Обозначим (\cos x = y), получим: [ 2y^2 - 5\sqrt{2}y - 6 = 0 ] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант (D) квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0) находится по формуле: [ D = b^2 - 4ac ] Подставляя значения, получаем: [ D = (5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 50 + 48 = 98 ] Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] Подставляем значения: [ y_1 = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{98}}{4}, \quad y_2 = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{98}}{4} ] Упрощаем (\sqrt{98}): [ \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} ] Тогда корни уравнения: [ y_1 = \frac{5\sqrt{2} + 7\sqrt{2}}{4} = 3, \quad y_2 = \frac{5\sqrt{2} - 7\sqrt{2}}{4} = -0.5 ] Так как (\cos x = y), находим (x):

1. (\cos x = 3) — невозможно, так как (\cos x) не может быть больше 1.
2. (\cos x = -0.5). Углы, для которых косинус равен (-0.5) в интервале ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]), это: [ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ] Подставим (k = -1): [ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} ] Оба значения принадлежат интервалу ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]).

Таким образом, решениями уравнения на заданном интервале являются: [ x = -\frac{4\pi}{3}, \quad x = -\frac{2\pi}{3} ]