Cos2x-5 sqrt 2 cosx-5=0 $-3п;-3п/2$

Для того чтобы решить уравнение Cos2x - 5√2cosx - 5 = 0 на интервале $-3\pi ;-3\pi /2$, давайте преобразуем его сначала.

Заметим, что Cos2x = 2Cos^2x - 1. Таким образом, уравнение преобразуется в 2Cos^2x - 1 - 5√2cosx - 5 = 0.

Обозначим Cosx за t. Тогда уравнение примет вид 2t^2 - 5√2t - 6 = 0.

Далее, решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = $-5\surd 2$^2 - 42$-6$ = 50 + 48 = 98.

Так как D > 0, у нас есть два корня: t1 = $5\surd 2+\surd 98$/4 и t2 = $5\surd 2-\surd 98$/4.

Подставим значения обратно: Cosx1 = $5\surd 2+\surd 98$/4 и Cosx2 = $5\surd 2-\surd 98$/4.

После этого найдем арккосинус от этих значений, чтобы найти x.

x1 = arccos$(5\surd 2+\surd 98$/4) и x2 = arccos$(5\surd 2-\surd 98$/4).

Однако, необходимо учесть, что значения арккосинуса находятся в пределах $0;\pi$. Поэтому для интервала $-3\pi ;-3\pi /2$ мы должны выбрать только те корни, которые лежат в данном диапазоне.

Таким образом, решение данного уравнения на интервале $-3\pi ;-3\pi /2$ будет зависеть от конкретных значений Cosx1 и Cosx2, и последующего подсчета арккосинуса от них.

Корни уравнения Cos2x-5sqrt$2$cosx-5=0 в интервале $-3п;-3п/2$ равны x=-2п.

Для решения уравнения $\cos (2x$ - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0) начнем с того, что воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1$ Тогда уравнение принимает вид: $2{\cos }^2(x)-1-5\sqrt{2}\cos x-5=0$ Приведем уравнение к квадратному относительно $\cos x$: $2{\cos }^2(x)-5\sqrt{2}\cos x-6=0$ Обозначим $\cos x=y$, получим: $2y^2-5\sqrt{2}y-6=0$ Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D$ квадратного уравнения $a{y}^2+by+c=0$ находится по формуле: $D=b^2-4ac$ Подставляя значения, получаем: $D=(5\sqrt{2}{)}^2-4\cdot 2\cdot (-6)=50+48=98$ Корни квадратного уравнения находятся по формуле: $y=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ Подставляем значения: $y_1=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{98}}{4},y_2=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{98}}{4}$ Упрощаем $\sqrt{98}$: $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$ Тогда корни уравнения: $y_1=\frac{5\sqrt{2}+7\sqrt{2}}{4}=3,y_2=\frac{5\sqrt{2}-7\sqrt{2}}{4}=-0.5$ Так как $\cos x=y$, находим $x$:

1. $\cos x=3$ — невозможно, так как $\cos x$ не может быть больше 1.
2. $\cos x=-0.5$. Углы, для которых косинус равен $-0.5$ в интервале $[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}]$, это: $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \text{или}x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$ Подставим $k=-1$: $x=\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3},x=\frac{4\pi }{3}-2\pi =-\frac{2\pi }{3}$ Оба значения принадлежат интервалу $[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}]$.

Таким образом, решениями уравнения на заданном интервале являются: $x=-\frac{4\pi }{3},x=-\frac{2\pi }{3}$