Cos2x+sin^2x=0,25 отобрать корни на промежутке [3pi ; 9pi/2]

Дано уравнение: cos(2x) + sin^2(x) = 0.25

Для начала преобразуем уравнение, используя формулы тригонометрии: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: cos^2(x) - sin^2(x) + 1 - cos^2(x) = 0.25 1 - 2sin^2(x) = 0.25 2sin^2(x) = 0.75 sin^2(x) = 0.375 sin(x) = ±√0.375

Теперь найдем значения угла x на промежутке [3π; 9π/2], для которых sin(x) = ±√0.375: sin(x) = ±√0.375 x = arcsin(±√0.375) + 2kπ, где k - целое число

Таким образом, корни уравнения на указанном промежутке будут равны: x = arcsin(√0.375) + 2kπ и x = π - arcsin(√0.375) + 2kπ, где k - целое число.

На данном промежутке [3π; 9π/2] уравнение Cos2x+sin^2x=0,25 не имеет корней.

Для решения уравнения ( \cos(2x) + \sin^2(x) = 0.25 ) начнем с того, что используем тригонометрическое тождество ( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) ). Подставим это в уравнение:

[ 1 - 2\sin^2(x) + \sin^2(x) = 0.25 ] [ 1 - \sin^2(x) = 0.25 ] [ \sin^2(x) = 0.75 ] [ \sin(x) = \pm\sqrt{0.75} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Теперь рассмотрим уравнение ( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) и ( \sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ).

1. Для ( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} ): Значения ( x ) для этого уравнения будут ( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k ) и ( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k ), где ( k ) - целое число.

2. Для ( \sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ): Значения ( x ) будут ( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k ) и ( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k ).

Теперь найдем корни этих уравнений на заданном интервале ( [3\pi, \frac{9\pi}{2}] ).

• ( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k )

  • Подставим ( k = 1, 2 ):
    • ( k = 1: x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} ), входит в интервал.
    • ( k = 2: x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} ), не входит в интервал.

• ( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k )

  • Подставим ( k = 1, 2 ):
    • ( k = 1: x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} ), входит в интервал.
    • ( k = 2: x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} ), не входит в интервал.

• ( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k )

  • Подставим ( k = 1 ):
    • ( k = 1: x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} ), входит в интервал.

• ( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k )

  • Подставим ( k = 1 ):
    • ( k = 1: x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{11\pi}{3} ), входит в интервал.

Итак, корни уравнения на интервале ( [3\pi, \frac{9\pi}{2}] ) следующие: [ x = \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3} ]