Cos²+√3sinx *cosx= 0 Один из ответов - pi\2 + pi n, Zэn :)

Давайте подробно разберем уравнение:

cos²(x) + √3 sin(x) cos(x) = 0.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Используем основное тригонометрическое тождество:
[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x). ] Подставим это в уравнение: [ 1 - \sin^2(x) + \sqrt{3} \sin(x) \cos(x) = 0. ]

Теперь у нас есть смешанный вид уравнения. Удобнее работать с ним, если выразить всё через одну тригонометрическую функцию. Заменим (\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}) или сделаем разложение.

Шаг 2: Разделить на группы

Для решения уравнения ( \cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 ) можно выразить ( \cos^2 x ) через ( \sin x ):

1. Перепишем уравнение: [ \cos^2 x = -\sqrt{3} \sin x \cos x ]

2. Заметим, что ( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x ), тогда: [ \cos^2 x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x ]

3. Поскольку ( \cos^2 x ) всегда неотрицательно, то ( -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x ) также должно быть неотрицательным. Это возможно, когда ( \sin 2x \leq 0 ).

4. Решаем ( \sin 2x = 0 ): [ 2x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{2}, \, n \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, решение уравнения: [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} ]

Это решение включает и ваши варианты, так как ( n ) может быть любое целое число.

Для решения уравнения ( \cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 ) начнем с его преобразования.

Мы можем выразить ( \cos^2 x ) через ( \sin x ) с помощью тригонометрической идентичности ( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ). Подставляя это в уравнение, получаем:

[ 1 - \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 ]

Однако, для упрощения этого уравнения можно воспользоваться другим подходом. Мы можем разделить обе части уравнения на ( \cos x ) при условии, что ( \cos x \neq 0 ):

[ \frac{\cos^2 x}{\cos x} + \sqrt{3} \sin x = 0 ]

Это преобразуется в:

[ \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 ]

Решим это уравнение для ( x ). Переносим ( \sqrt{3} \sin x ) на другую сторону:

[ \cos x = -\sqrt{3} \sin x ]

Теперь можем выразить тангенс:

[ \frac{\cos x}{\sin x} = -\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \cot x = -\sqrt{3} ]

Это означает, что:

[ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} ]

Значение ( \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} ) соответствует углам ( x = -\frac{\pi}{6} + k\pi ), где ( k ) — целое число. Это связано с тем, что тангенс имеет период ( \pi ).

Следовательно, добавим ( \pi ) к первому решению:

[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Теперь, если мы хотим выразить решение в более привычной форме, можно представить его в виде:

[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

где ( \frac{5\pi}{6} ) — это другое решение в пределах одного полного периода.

Теперь рассмотрим случай, когда ( \cos x = 0 ). В этом случае:

[ x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) ]

Таким образом, полное множество решений уравнения ( \cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 ) будет:

[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (k, n \in \mathbb{Z}) ]

Эти решения представляют все возможные углы, при которых данное уравнение будет истинным.