Cos(3x-π/4)=1/2
Можно, пожалуйста, с подробным решением?
Cos(3x-π/4)=1/2
Можно, пожалуйста, с подробным решением?
Да, конечно!
Для нахождения значений x, при которых cos(3x-π/4)=1/2, нужно использовать формулу косинуса разности:
cos(α-β) = cos α cos β + sin α sin β
Таким образом, уравнение примет вид:
cos(3x)cos(π/4) + sin(3x)sin(π/4) = 1/2
cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2
(√2/2)cos(3x) + (√2/2)sin(3x) = 1/2
√2/2 * (cos(3x) + sin(3x)) = 1/2
cos(3x) + sin(3x) = 1/√2
Теперь используем формулу синуса и косинуса суммы:
sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2
Таким образом, уравнение примет вид:
sin(3x+π/4) = 1/√2
Теперь находим угол, при котором синус равен 1/√2:
3x + π/4 = π/4 + 2πk, где k - целое число
3x = 2πk
x = 2πk/3, где k - целое число
Таким образом, решением уравнения cos(3x-π/4)=1/2 являются все значения x, равные 2πk/3, где k - целое число.
Конечно, давайте решим уравнение (\cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}) подробно.
Известно, что (\cos(\theta) = \frac{1}{2}) имеет два решения в пределах одного периода (2\pi):
[ \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} ]
В нашем случае (\theta = 3x - \frac{\pi}{4}). Подставим это в общие решения:
[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]
Рассмотрим первое уравнение:
[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ]
Добавим (\frac{\pi}{4}) к обеим частям уравнения:
[ 3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]
Приведем к общему знаменателю:
[ 3x = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi ]
Теперь разделим обе части на 3:
[ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} ]
Теперь рассмотрим второе уравнение:
[ 3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]
Добавим (\frac{\pi}{4}) к обеим частям уравнения:
[ 3x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]
Приведем к общему знаменателю:
[ 3x = \frac{-4\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{-\pi}{12} + 2k\pi ]
Теперь разделим обе части на 3:
[ x = \frac{-\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} ]
Таким образом, общее решение уравнения (\cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}) будет:
[ x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = \frac{-\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} ]
Это полное и подробное решение уравнения (\cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}).
Да, конечно! Для решения уравнения Cos(3x-π/4)=1/2, мы будем использовать тригонометрические идентичности.
Сначала найдем общее решение уравнения Cos(3x-π/4)=1/2. Для этого нам нужно найти все углы, для которых косинус равен 1/2. Известно, что косинус равен 1/2 в углах 30 градусов (π/6) и 150 градусов (5π/6) на интервале [0, 2π].
Теперь мы можем записать уравнение 3x-π/4 = π/6 + 2kπ и 3x-π/4 = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.
Решим первое уравнение: 3x = π/6 + π/4 + 2kπ, 3x = 5π/12 + 2kπ, x = 5π/36 + 2kπ/3.
Решим второе уравнение: 3x = 5π/6 + π/4 + 2kπ, 3x = 7π/12 + 2kπ, x = 7π/36 + 2kπ/3.
Таким образом, общее решение уравнения Cos(3x-π/4)=1/2 будет x = 5π/36 + 2kπ/3 и x = 7π/36 + 2kπ/3, где k - целое число.
Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти все решения данного уравнения. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
