Cosx-cos3x=cos2x-cos4x

cosx - cos3x = cos2x - cos4x 2sin2xsinx = 2sin3xsinx sin2x = sin3x

Краткий ответ: sin2x = sin3x.

Чтобы решить уравнение (\cos x - \cos 3x = \cos 2x - \cos 4x), можно воспользоваться формулами для разности косинусов и некоторыми тригонометрическими идентичностями.

Формула разности косинусов:

[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) ]

Применим эту формулу к каждой стороне уравнения:

1. Левая часть: (\cos x - \cos 3x)

[ \cos x - \cos 3x = -2 \sin\left(\frac{x + 3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x - 3x}{2}\right) = -2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin(2x) \sin(x) ]

1. Правая часть: (\cos 2x - \cos 4x)

[ \cos 2x - \cos 4x = -2 \sin\left(\frac{2x + 4x}{2}\right) \sin\left(\frac{2x - 4x}{2}\right) = -2 \sin(3x) \sin(-x) = 2 \sin(3x) \sin(x) ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ 2 \sin(2x) \sin(x) = 2 \sin(3x) \sin(x) ]

Мы можем сократить обе стороны на (2 \sin(x)) (при условии, что (\sin(x) \neq 0)):

[ \sin(2x) = \sin(3x) ]

Это уравнение имеет решение, когда:

1. (2x = 3x + 2k\pi), где (k) — целое число, или
2. (2x = \pi - 3x + 2k\pi)

Рассмотрим первый случай:

[ 2x = 3x + 2k\pi \implies -x = 2k\pi \implies x = -2k\pi ]

Рассмотрим второй случай:

[ 2x = \pi - 3x + 2k\pi \implies 5x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi(1 + 2k)}{5} ]

Таким образом, общее решение уравнения:

1. (x = -2k\pi), где (k) — целое число.
2. (x = \frac{\pi(1 + 2k)}{5}), где (k) — целое число.

Также нужно учесть случай, когда (\sin(x) = 0). Это происходит при (x = n\pi), где (n) — целое число.

Итоговое решение объединяет все найденные значения (x).

Для решения данного уравнения используем формулу для разности косинусов:

cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

Подставим значения a = x, b = 3x:

cos(x) - cos(3x) = -2sin((x+3x)/2)sin((x-3x)/2)

cos(x) - cos(3x) = -2sin(2x)sin(-x)

Также воспользуемся формулой для косинуса суммы:

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

cos(2x) = cos(x+x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

cos(4x) = cos(2x+2x) = cos(2x)cos(2x) - sin(2x)sin(2x) = (cos^2(2x) - sin^2(2x)) = (cos^2(x) - sin^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x)

Подставив полученные значения в уравнение, получим:

cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) - 2sin(2x)sin(-x)

cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin(2x)sin(x)

cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin(3x)

cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin(x)(cos^2(x) - sin^2(x))

cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin(x)cos(2x)

Решив данное уравнение, мы получим значения переменной x, при которых равенство выполняется.