Cos(x/4 - pi/6)= - √3/2 Решите пожалуйста

Для решения уравнения Cos(x/4 - pi/6) = -√3/2 нужно найти все значения x, удовлетворяющие данному уравнению.

Сначала найдем общее решение уравнения Cos(x/4 - pi/6) = -√3/2. Для этого воспользуемся формулой косинуса разности: Cos(a - b) = Cos a Cos b + Sin a Sin b.

Подставим значения a = x/4 и b = pi/6 в данную формулу: Cos(x/4 - pi/6) = Cos(x/4) Cos(pi/6) + Sin(x/4) Sin(pi/6).

Так как Cos(pi/6) = √3/2 и Sin(pi/6) = 1/2, получим уравнение: -√3/2 = Cos(x/4) √3/2 + Sin(x/4) 1/2.

Теперь приведем данное уравнение к виду: Cos(x/4) = -1/2.

Так как Cos(pi/3) = 1/2, то Cos(-pi/3) = -1/2. Следовательно, получаем, что x/4 = -pi/3 + 2pi*n, где n - целое число.

Отсюда найдем все значения x: x = -4pi/3 + 8pi*n.

Таким образом, общее решение уравнения Cos(x/4 - pi/6) = -√3/2 будет представлено в виде x = -4pi/3 + 8pi*n, где n - целое число.

Чтобы решить уравнение (\cos\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}), мы должны найти такие значения угла, для которых косинус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}).

1. Определите основные углы:

   Косинус принимает значение (-\frac{\sqrt{3}}{2}) в точках (\frac{5\pi}{6}) и (\frac{7\pi}{6}). Эти значения соответствуют углам во втором и третьем квадрантах.

2. Найдем выражение для (\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6}):

   [ \frac{x}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi ]

   где (k) — любое целое число, поскольку косинус — периодическая функция с периодом (2\pi).

3. Решим каждое уравнение по отдельности:

   Первое уравнение: [ \frac{x}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]

   Прибавим (\frac{\pi}{6}) к обеим частям:

   [ \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \pi + 2k\pi ]

   Умножим обе части на 4:

   [ x = 4\pi + 8k\pi = (4 + 8k)\pi ]

   Второе уравнение: [ \frac{x}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi ]

   Прибавим (\frac{\pi}{6}) к обеим частям:

   [ \frac{x}{4} = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{8\pi}{6} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ]

   Умножим обе части на 4:

   [ x = \frac{16\pi}{3} + 8k\pi ]

4. Обобщенное решение:

   Мы получили два семейства решений для (x):

   [ x = (4 + 8k)\pi ]

   [ x = \frac{16\pi}{3} + 8k\pi ]

где (k) — любое целое число. Это обобщенные решения уравнения (\cos\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}).