Дан многочлен: f(x; y) = 2xy^3xy^2-x^3-11+4y^3+5x^3-y^2x^2y^2+xy-(3x^2+y)(y^2-x) а) Приведите данный многочлен к стандартному виду б) Установите является ли данный многочлен однородным в) Если он является однородным, определите его степень.
Дан многочлен: f(x; y) = 2xy^3xy^2-x^3-11+4y^3+5x^3-y^2x^2y^2+xy-(3x^2+y)(y^2-x) а) Приведите данный многочлен к стандартному виду б) Установите является ли данный многочлен однородным в) Если он является однородным, определите его степень.
Рассмотрим данный многочлен ( f(x, y) = 2xy^3 + xy^2 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^2x^2y^2 + xy - (3x^2 + y)(y^2 - x) ).
Для решения задачи выполним следующие шаги:
Стандартный вид многочлена предполагает, что все члены упорядочены в соответствии с их степенями, а одинаковые степени объединены.
[ (3x^2 + y)(y^2 - x) = 3x^2y^2 - 3x^3 + yy^2 - yx = 3x^2y^2 - 3x^3 + y^3 - yx. ]
Со знаком минус получаем:
[ -(3x^2 + y)(y^2 - x) = -3x^2y^2 + 3x^3 - y^3 + yx. ]
Теперь подставим это обратно в исходный многочлен:
[ f(x, y) = 2xy^3 + xy^2 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^2x^2y^2 + xy - (-3x^2y^2 + 3x^3 - y^3 + yx). ]
Таким образом, многочлен становится:
[ f(x, y) = 7x^3 + 2xy^3 + 3y^3 + 2xy + xy^2 - 3x^2y^2 - x^4y^2 - 11. ]
Это и есть стандартный вид многочлена.
Многочлен называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же сумму степеней переменных ( x ) и ( y ).
Проверим степени каждого слагаемого:
Поскольку степени слагаемых различны (( 3, 4, 2, 6, 0 )), данный многочлен не является однородным.
Так как многочлен не однородный, этот пункт можно рассматривать формально. Но степень многочлена в общем случае определяется как максимальная сумма степеней переменных в одном из его членов.
Максимальная степень в данном многочлене:
Таким образом, степень данного многочлена равна ( 6 ).
а) Стандартный вид многочлена:
[ f(x, y) = 7x^3 + 2xy^3 + 3y^3 + 2xy + xy^2 - 3x^2y^2 - x^4y^2 - 11. ]
б) Многочлен не является однородным.
в) Если бы многочлен был однородным, его степень составила бы ( 6 ).
Чтобы решить задачу, давайте начнем с упрощения данного многочлена ( f(x, y) ).
Исходный многочлен:
[ f(x, y) = 2xy^3xy^2 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^2x^2y^2 + xy - (3x^2 + y)(y^2 - x) ]
Сначала упростим выражение ( -(3x^2 + y)(y^2 - x) ):
[ -(3x^2 + y)(y^2 - x) = - (3x^2y^2 - 3x^3 + y^3 - xy) ]
Теперь подставим это обратно в многочлен:
[ f(x, y) = 2xy^3xy^2 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^2x^2y^2 + xy - (3x^2y^2 - 3x^3 + y^3 - xy) ]
Теперь упрощаем:
[ = 2xy^5 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^4x^2 + xy - 3x^2y^2 + 3x^3 - y^3 + xy ]
Теперь соберем подобные члены:
Теперь можем записать многочлен в стандартном виде:
[ f(x,y) = 7x^3 + 3y^3 + 2xy^5 - y^4x^2 - 3x^2y^2 + 2xy - 11 ]
Многочлен является однородным, если все его члены имеют одинаковую степень. Для этого мы определим степень каждого термина:
Степени термов: 3, 3, 6, 6, 4, 2, 0. Поскольку степени термов различны, многочлен не является однородным.
а) Стандартный вид многочлена:
[ f(x,y) = 7x^3 + 3y^3 + 2xy^5 - y^4x^2 - 3x^2y^2 + 2xy - 11 ]
б) Многочлен не является однородным.
Чтобы привести многочлен ( f(x, y) = 2xy^3 + xy^2 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^2x^2y^2 + xy - (3x^2+y)(y^2-x) ) к стандартному виду, сначала разложим скобки и упростим его.
Раскроем скобки: [ (3x^2 + y)(y^2 - x) = 3x^2y^2 - 3x^3 + y^3 - xy ]
Подставим это обратно в многочлен: [ f(x, y) = 2xy^3 + xy^2 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^2x^2y^2 + xy - (3x^2y^2 - 3x^3 + y^3 - xy) ]
Упрощаем: [ f(x, y) = 2xy^3 + xy^2 - x^3 - 11 + 4y^3 + 5x^3 - y^2x^2y^2 + xy - 3x^2y^2 + 3x^3 - y^3 + xy ]
После упрощения и группировки подобный членов получаем: [ f(x, y) = (5x^3 - x^3 + 3x^3) + (2xy^3 + 4y^3 - y^3) + (xy^2 - y^2x^2y^2 - 3x^2y^2) + 2xy - 11 ] [ = 7x^3 + 5y^3 + (xy^2 - 3x^2y^2) + 2xy - 11 ]
Теперь, чтобы проверить, является ли многочлен однородным, необходимо определить, имеют ли все члены одинаковую степень.
Так как степени членов различаются, многочлен не является однородным.
Ответ:
а) Приведение к стандартному виду: ( f(x, y) = 7x^3 + 5y^3 - 3x^2y^2 + 2xy - 11 )
б) Многочлен не является однородным.
