Дана функция f(x)=2x^3+3x^2-1. Найдите а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наибольшее и...

Для решения задачи а) о промежутках возрастания и убывания функции, а также б) нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, начнем с анализа производной функции.

Шаг 1: Находим производную функции

Для функции ( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1 ), производная будет: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 1) = 6x^2 + 6x. ]

Можно упростить: [ f'(x) = 6(x^2 + x) = 6x(x + 1). ]

Шаг 2: Находим критические точки

Производная равна нулю, когда: [ 6x(x + 1) = 0 ] [ x(x + 1) = 0 ] [ x = 0 \text{ или } x = -1. ]

Шаг 3: Исследуем знак производной и определяем промежутки возрастания и убывания

Разобьем числовую ось на интервалы относительно критических точек (x = -1) и (x = 0):

• Когда (x < -1), [ x(x + 1) < 0 ] Значит, производная отрицательна, функция убывает.
• Когда (-1 < x < 0), [ x(x + 1) > 0 ] Значит, производная положительна, функция возрастает.
• Когда (x > 0), [ x(x + 1) > 0 ] Значит, производная положительна, функция возрастает.

Итак, функция убывает на интервале ((-∞, -1]) и возрастает на интервалах ((-1, 0]) и ([0, +∞)).

Шаг 4: Находим наибольшее и наименьшее значения на отрезке ([-1, 2])

Для этого вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• ( f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 )
• ( f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 )
• ( f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 1 = 16 + 12 - 1 = 27 )

Наибольшее значение на отрезке ([-1, 2]) составляет (f(2) = 27), наименьшее (f(0) = -1).

Вывод

а) Функция убывает на ((-∞, -1]), возрастает на ((-1, 0]) и ([0, +∞)). б) Наибольшее значение функции на отрезке ([-1, 2]) равно 27, наименьшее равно -1.

a) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную функции f'(x) и найти ее корни.

f'(x) = 6x^2 + 6x

Теперь найдем корни производной:

6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0 x = 0 или x = -1

Теперь построим таблицу знаков производной:

x | -∞ | -1 | 0 | +∞ f'(x) | - | 0 | + | +

Из таблицы видно, что функция возрастает на промежутке (-∞, -1) и (0, +∞), а убывает на промежутке (-1, 0).

б) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2], найдем значение функции в крайних точках и в точках экстремума (корнях производной).

f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 1 = 16 + 12 - 1 = 27

Теперь найдем значение функции в точках экстремума:

f(-1) = 0 f(0) = -1

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1;2] равно 27, а наименьшее значение равно -1.