Дана функция f(x)= x²+2x-3 постройте график данной функции и функции y=f(-x)

Для построения графиков функции ( f(x) = x^2 + 2x - 3 ) и функции ( y = f(-x) ), сначала разберемся с каждой из них по отдельности.

Шаг 1: Построение графика функции ( f(x) = x^2 + 2x - 3 )

1. Определим ключевые элементы функции:

   • Вершина параболы: Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -3 ). [ x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 ]
   • Подставим ( x = -1 ) в функцию, чтобы найти координату ( y ): [ f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 ]
   • Вершина параболы: ( (-1, -4) ).

2. Найдем нули функции (корни уравнения):

   • Решим квадратичное уравнение ( x^2 + 2x - 3 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]
   • Корни уравнения: [ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} ] [ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 ]
   • Нули функции: ( x = 1 ) и ( x = -3 ).

3. Построим таблицу значений:

   • Выберем несколько значений ( x ) и найдем соответствующие ( y ): [ \begin{array}{c|c} x & y \ \hline -3 & (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \ -2 & (-2)^2 + 2(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \ -1 & (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \ 0 & 0^2 + 2(0) - 3 = -3 \ 1 & 1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \ 2 & 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \ \end{array} ]

4. Построим график:

   • Отметим на координатной плоскости вершину ( (-1, -4) ) и точки, соответствующие нулям функции ( (-3, 0) ) и ( (1, 0) ), а также другие точки из таблицы.

Шаг 2: Построение графика функции ( y = f(-x) )

1. Преобразуем функцию ( f(x) ) в ( f(-x) ):

   • Подставим (-x) в исходную функцию: [ f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) - 3 = x^2 - 2x - 3 ]

2. Определим ключевые элементы функции ( f(-x) = x^2 - 2x - 3 ):

   • Вершина параболы: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ]
   • Подставим ( x = 1 ) в функцию: [ f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 ]
   • Вершина параболы: ( (1, -4) ).

3. Найдем нули функции:

   • Решим уравнение ( x^2 - 2x - 3 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]
   • Корни уравнения: [ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} ] [ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]
   • Нули функции: ( x = 3 ) и ( x = -1 ).

4. Построим таблицу значений для ( f(-x) ):

   • Выберем несколько значений ( x ) и найдем соответствующие ( y ): [ \begin{array}{c|c} x & y \ \hline -2 & (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \ -1 & (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \ 0 & 0^2 - 2(0) - 3 = -3 \ 1 & 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \ 2 & 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \ 3 & 3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \ \end{array} ]

5. Построим график:

   • Отметим на координатной плоскости вершину ( (1, -4) ) и точки, соответствующие нулям функции ( (-1, 0) ) и ( (3, 0) ), а также другие точки из таблицы.

Итог

На одной координатной плоскости построим два графика:

• График функции ( f(x) = x^2 + 2x - 3 ) — парабола с вершиной в точке ( (-1, -4) ) и нулями в точках ( (-3, 0) ) и ( (1, 0) ).
• График функции ( y = f(-x) = x^2 - 2x - 3 ) — парабола с вершиной в точке ( (1, -4) ) и нулями в точках ( (-1, 0) ) и ( (3, 0) ).

Обе параболы симметричны относительно оси ( y ).

Для построения графика функции f(x) = x² + 2x - 3 нужно следовать нескольким шагам.

1. Найдем вершину параболы, которая является точкой минимума или максимума функции. Для этого воспользуемся формулой x = -b/(2a), где a = 1, b = 2. Таким образом, x = -2/(21) = -1. Подставив x = -1 в исходное уравнение, получаем y = (-1)² + 2(-1) - 3 = -2. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, -2).

2. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент при x² положителен, парабола будет направлена вверх.

3. Найдем точки пересечения параболы с осями координат. Для этого решим уравнение f(x) = 0: x² + 2x - 3 = 0. Факторизуем уравнение: (x + 3)(x - 1) = 0. Отсюда получаем два корня: x₁ = -3, x₂ = 1. Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (-3, 0) и (1, 0).

Теперь перейдем к построению графика функции y = f(-x). Для этого заменим x на -x в исходной функции: f(-x) = (-x)² + 2*(-x) - 3 = x² - 2x - 3. График этой функции будет симметричен относительно оси y.

Таким образом, график функции f(x) = x² + 2x - 3 будет параболой, направленной вверх, с вершиной в точке (-1, -2) и пересекающей ось x в точках (-3, 0) и (1, 0). График функции y = f(-x) будет иметь ту же форму параболы, но симметричный относительно оси y.

Для построения графика функции y=f(-x) нужно отразить график функции f(x) относительно оси ординат.