Дана функция f(x)=x^3-3x^2-3x+5.Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x),параллельной...

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5, параллельной прямой у = -3x + 4, сначала найдем производную функции f(x).

f'(x) = 3x^2 - 6x - 3.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0 можно записать в виде: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0).

Так как мы ищем уравнение касательной, параллельной прямой у = -3x + 4, то коэффициент наклона касательной будет равен -3 (так как прямая y = -3x + b имеет наклон -3).

Теперь найдем значение x, при котором f'(x) = -3: 3x^2 - 6x - 3 = -3, 3x^2 - 6x = 0, 3x(x - 2) = 0, x = 0 или x = 2.

Теперь найдем соответствующие значения y: y(0) = 5, y(2) = 5.

Итак, у нас две точки, через которые проходит касательная - (0, 5) и (2, 5). Уравнение касательной, параллельной прямой у = -3x + 4, будет иметь вид: y - 5 = -3(x - 2), y = -3x + 11.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5, параллельной прямой у = -3x + 4, будет y = -3x + 11.

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5 ), параллельной прямой ( y = -3x + 4 ), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определить наклон касательной линии:

   Поскольку касательная должна быть параллельна прямой ( y = -3x + 4 ), ее наклон (коэффициент ( k )) будет таким же, как и у данной прямой. Наклон прямой ( y = -3x + 4 ) равен (-3).

2. Найти производную функции ( f(x) ):

   Производная функции ( f(x) ), обозначаемая как ( f'(x) ), представляет собой наклон касательной к графику функции в любой точке ( x ). Для функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5 ) производная будет: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 3x + 5) ] [ f'(x) = 3x^2 - 6x - 3 ]

3. Решить уравнение для наклона:

   Нам нужно найти такие точки ( x ), где наклон касательной ( f'(x) ) равен (-3): [ 3x^2 - 6x - 3 = -3 ] Упростим это уравнение: [ 3x^2 - 6x - 3 + 3 = 0 ] [ 3x^2 - 6x = 0 ] Разделим обе части уравнения на 3: [ x^2 - 2x = 0 ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(x - 2) = 0 ] Отсюда следует, что ( x = 0 ) или ( x = 2 ).

4. Найти точки касания:

   Подставим найденные значения ( x ) в исходную функцию ( f(x) ), чтобы найти соответствующие значения ( y ).

   Для ( x = 0 ): [ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 5 = 5 ] Точка касания: ( (0, 5) ).

   Для ( x = 2 ): [ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 5 ] [ f(2) = 8 - 12 - 6 + 5 = -5 ] Точка касания: ( (2, -5) ).

5. Записать уравнение касательной:

   Уравнение касательной линии имеет вид ( y = kx + b ). Мы знаем, что наклон ( k = -3 ). Теперь нужно найти свободный член ( b ).

   Для точки ( (0, 5) ): [ y = -3x + b ] Подставляем координаты точки ( (0, 5) ): [ 5 = -3 \cdot 0 + b ] [ b = 5 ] Уравнение касательной: ( y = -3x + 5 ).

   Для точки ( (2, -5) ): [ y = -3x + b ] Подставляем координаты точки ( (2, -5) ): [ -5 = -3 \cdot 2 + b ] [ -5 = -6 + b ] [ b = -5 + 6 = 1 ] Уравнение касательной: ( y = -3x + 1 ).

Таким образом, у нас есть два уравнения касательных, параллельных данной прямой ( y = -3x + 4 ): [ y = -3x + 5 ] и [ y = -3x + 1 ].