Дана функция f(x)=x^3-3x^2+3x+a. Найдите значение параметра a, при котором наибольшее значение функции...

Для решения задачи начнем с анализа функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + a ). Нам нужно найти такие значение параметра ( a ), при котором наибольшее значение функции на отрезке ( [1; 2] ) равно 5.

Шаг 1: Найдем производную функции

Чтобы определить критические точки, найдем производную функции ( f(x) ):

[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2 ]

Шаг 2: Определим критические точки

Производная ( f'(x) ) равна нулю, когда ( x - 1 = 0 ), то есть ( x = 1 ). Поскольку производная равна нулю только в этой точке и является квадратом, функция ( f(x) ) является возрастающей на интервале ( (1, 2] ).

Шаг 3: Найдем значения функции на границах отрезка

Теперь вычислим значения функции на границах отрезка и в критической точке:

1. ( f(1) ): [ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + a = 1 - 3 + 3 + a = 1 + a ]

2. ( f(2) ): [ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + a = 8 - 12 + 6 + a = 2 + a ]

Шаг 4: Найдем наибольшее значение на отрезке

Поскольку функция возрастает на интервале ( (1, 2] ), наибольшее значение функции на отрезке ( [1, 2] ) будет в правой границе, то есть:

[ M = f(2) = 2 + a ]

Шаг 5: Установим условие для нахождения ( a )

Согласно условию задачи, наибольшее значение ( M ) должно быть равно 5:

[ 2 + a = 5 ]

Шаг 6: Найдем ( a )

Решим уравнение:

[ a = 5 - 2 = 3 ]

Ответ

Таким образом, значение параметра ( a ), при котором наибольшее значение функции ( f(x) ) на отрезке ( [1; 2] ) равно 5, равно ( a = 3 ).

Рассмотрим функцию ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + a ), где нужно найти параметр ( a ), чтобы наибольшее значение функции на отрезке ( [1; 2] ) равно 5.

Шаг 1: Необходимые условия для поиска экстремумов

На отрезке ( [1; 2] ) функция ( f(x) ) может достигать наибольшего значения:

1. В критических точках, которые находятся внутри отрезка, где производная ( f'(x) = 0 );
2. На границах отрезка: в точках ( x = 1 ) и ( x = 2 ).

Шаг 2: Найдём производную функции

Производная функции: [ f'(x) = 3x^2 - 6x + 3. ] Упростим: [ f'(x) = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2. ]

Шаг 3: Найдём критические точки

Поскольку ( f'(x) = 3(x - 1)^2 ), производная обращается в ноль только в одной точке: [ x = 1. ] Заметим, что ( f'(x) \geq 0 ) для всех ( x ), и производная равна нулю только в ( x = 1 ). Это значит, что функция ( f(x) ) не убывает на всём отрезке ( [1; 2] ) и, следовательно, наибольшее значение достигается в правой границе отрезка ( x = 2 ).

Шаг 4: Проверка значений функции на границах

Подставим ( x = 1 ) и ( x = 2 ) в функцию ( f(x) ):

1. В точке ( x = 1 ): [ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + a = 1 - 3 + 3 + a = 1 + a. ]

2. В точке ( x = 2 ): [ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + a = 8 - 12 + 6 + a = 2 + a. ]

Шаг 5: Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции на отрезке ( [1; 2] ) достигается в точке ( x = 2 ), так как функция возрастает на этом интервале. Условие задачи требует, чтобы это значение равнялось 5: [ f(2) = 5. ]

Подставим выражение для ( f(2) ): [ 2 + a = 5. ]

Решим уравнение: [ a = 5 - 2 = 3. ]

Шаг 6: Проверка

Подставим ( a = 3 ) в функцию и убедимся, что наибольшее значение на отрезке действительно равно 5.

• ( f(1) = 1 + a = 1 + 3 = 4 );
• ( f(2) = 2 + a = 2 + 3 = 5 ).

Наибольшее значение ( f(x) ) на отрезке ( [1; 2] ) равно ( 5 ), что соответствует условию.

Ответ:

[ a = 3. ]