Дана геометрическая прогрессия (Cn) с положительными членами, в которой с3=18; с5=162 а) Найдите с1 б) Определите количество членов прогрессии начиная с первого, сумма которых равна 80
Дана геометрическая прогрессия (Cn) с положительными членами, в которой с3=18; с5=162 а) Найдите с1 б) Определите количество членов прогрессии начиная с первого, сумма которых равна 80
Для нахождения с1 воспользуемся формулой для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии: Cn = C1 * q^(n-1), где C1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии. Подставив известные значения, получим:
C3 = C1 q^(3-1) = 18, C5 = C1 q^(5-1) = 162.
Разделим уравнения C5 / C3, чтобы избавиться от C1:
162 / 18 = (C1 q^4) / (C1 q^2), 9 = q^2, q = 3.
Теперь найдем с1, подставив значение q в уравнение C3 = 18:
C1 3^2 = 18, C1 9 = 18, C1 = 2.
Таким образом, с1 = 2.
Для нахождения количества членов прогрессии, сумма которых равна 80, используем формулу суммы членов геометрической прогрессии: Sn = C1 * (1 - q^n) / (1 - q), где Sn - сумма n членов прогрессии.
Подставим известные значения и сумму 80:
80 = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3).
Упростим уравнение:
80 = 2 * (1 - 3^n) / -2, -40 = 1 - 3^n, -41 = -3^n.
Отсюда получаем, что n = 3. Таким образом, количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 80, равно 3.
Для начала напомним основные свойства геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии каждый член (Cn) можно выразить через первый член прогрессии (C1) и знаменатель прогрессии (q) с помощью формулы: [ C_n = C_1 \cdot q^{n-1} ]
Итак, нам даны два члена прогрессии: [ C_3 = 18 ] [ C_5 = 162 ]
Применим формулу для (C_3) и (C_5): [ C_3 = C_1 \cdot q^2 = 18 ] [ C_5 = C_1 \cdot q^4 = 162 ]
Теперь разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от (C_1): [ \frac{C_1 \cdot q^4}{C_1 \cdot q^2} = \frac{162}{18} ] [ q^2 = 9 ] [ q = \pm 3 ]
Поскольку все члены прогрессии положительные, ( q ) должно быть положительным: [ q = 3 ]
Теперь подставим значение ( q ) в первое уравнение: [ C_1 \cdot 3^2 = 18 ] [ C_1 \cdot 9 = 18 ] [ C_1 = 2 ]
Таким образом, первый член прогрессии ( C_1 = 2 ).
Теперь решим часть (б) задачи. Необходимо найти количество первых членов прогрессии, сумма которых равна 80. Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии определяется формулой: [ S_n = C_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} ]
Подставим известные значения ( C_1 = 2 ) и ( q = 3 ): [ S_n = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} ] [ S_n = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{2} ] [ S_n = 3^n - 1 ]
Найдем ( n ) такое, что ( S_n = 80 ): [ 3^n - 1 = 80 ] [ 3^n = 81 ] [ 3^n = 3^4 ] [ n = 4 ]
Таким образом, количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 80, равно 4.
