Дана геометрическая прогрессия (Cn) с положительными членами, в которой С4 = 24; С6 = 96. а) Найдите...

Геометрическая прогрессия определяется формулой:

[ C_n = C_1 \cdot r^{n-1}, ]

где ( C_1 ) — первый член прогрессии, ( r ) — знаменатель прогрессии, а ( n ) — номер члена прогрессии.

Из условия задачи имеем:

1. ( C_4 = C_1 \cdot r^{3} = 24 ) (1)
2. ( C_6 = C_1 \cdot r^{5} = 96 ) (2)

Теперь выразим ( C_6 ) через ( C_4 ):

[ C_6 = C_4 \cdot r^2. ]

Подставим известные значения из уравнений (1) и (2):

[ 96 = 24 \cdot r^2. ]

Разделим обе стороны на 24:

[ r^2 = \frac{96}{24} = 4. ]

Теперь найдем ( r ):

[ r = \sqrt{4} = 2. ]

Теперь подставим значение ( r ) в одно из уравнений, чтобы найти ( C_1 ). Используем уравнение (1):

[ C_4 = C_1 \cdot r^3 = 24 \Rightarrow C_1 \cdot 2^3 = 24 \Rightarrow C_1 \cdot 8 = 24. ]

Разделим обе стороны на 8:

[ C_1 = \frac{24}{8} = 3. ]

Таким образом, ответ на часть а):

a) ( C_1 = 3 ).

Теперь перейдем к части б), где нам нужно найти количество членов прогрессии, сумма которых равна 45. Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

[ S_n = C_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}. ]

Подставим известные значения ( C_1 = 3 ) и ( r = 2 ):

[ S_n = 3 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (2^n - 1) = 3 \cdot 2^n - 3. ]

Теперь приравняем сумму ( S_n ) к 45:

[ 3 \cdot 2^n - 3 = 45. ]

Добавим 3 к обеим сторонам:

[ 3 \cdot 2^n = 48. ]

Теперь разделим обе стороны на 3:

[ 2^n = 16. ]

Решим уравнение:

[ 2^n = 2^4 \Rightarrow n = 4. ]

Таким образом, ответ на часть б):

б) Количество членов прогрессии, сумма которых равна 45, составляет ( n = 4 ).

Решение:

Дано:

1. Геометрическая прогрессия ( C_n ) с положительными членами.
2. ( C_4 = 24 ), ( C_6 = 96 ).

Имеем формулу общего члена геометрической прогрессии: [ C_n = C_1 \cdot q^{n-1}, ] где ( C_1 ) — первый член прогрессии, ( q ) — знаменатель прогрессии, ( n ) — номер члена.

Часть а) Найдем ( C_1 ).

Подставим известные значения ( C_4 ) и ( C_6 ) в формулу общего члена: [ C_4 = C_1 \cdot q^{4-1} = C_1 \cdot q^3, ] [ C_6 = C_1 \cdot q^{6-1} = C_1 \cdot q^5. ]

Подставим ( C_4 = 24 ) и ( C_6 = 96 ): [ 24 = C_1 \cdot q^3, ] [ 96 = C_1 \cdot q^5. ]

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от ( C_1 ): [ \frac{C_1 \cdot q^5}{C_1 \cdot q^3} = \frac{96}{24}. ]

Упростим: [ q^2 = 4. ]

Найдем ( q ): [ q = \sqrt{4} = 2 \quad (\text{поскольку члены прогрессии положительные, ( q > 0)}). ]

Теперь подставим ( q = 2 ) в уравнение для ( C_4 ): [ 24 = C_1 \cdot 2^3. ]

Упростим: [ 24 = C_1 \cdot 8, ] [ C_1 = \frac{24}{8} = 3. ]

Ответ на пункт а): ( C_1 = 3 ).

Часть б) Найдем количество первых членов прогрессии, сумма которых равна 45.

Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: [ S_n = C_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, ] где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов.

Подставим значения ( C_1 = 3 ) и ( q = 2 ), а также ( S_n = 45 ): [ 45 = 3 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1}. ]

Упростим: [ 45 = 3 \cdot (2^n - 1). ]

Разделим обе стороны на 3: [ 15 = 2^n - 1. ]

Добавим 1 к обеим сторонам: [ 16 = 2^n. ]

Найдем ( n ): [ 2^n = 16 \quad \Rightarrow \quad n = 4. ]

Ответ на пункт б): ( n = 4 ).

Итоговый ответ:

а) ( C_1 = 3 ).
б) Количество членов, сумма которых равна 45: ( n = 4 ).