Даны функции: f(x)=x²-2x и g(x)=3x-4. Найдите: а) f(-2); g(-10); f(g(-1)). б) Значения x, при которых...

а) а) f(-2) = (-2)² - 2(-2) = 4 + 4 = 8 g(-10) = 3(-10) - 4 = -30 - 4 = -34 f(g(-1)) = f(3(-1) - 4) = f(-7) = (-7)² - 2(-7) = 49 + 14 = 63

б) f(x) = 3 x² - 2x = 3 x² - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 или x = -1

в) График f(x)=x²-2x пересекает ось x в точках (0,0) и (2,0), а ось y в точке (0,0). График g(x)=3x-4 пересекает ось x в точке (4/3,0), а ось y в точке (0,-4).

г) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций f(x) и g(x), нужно решить уравнение f(x) = g(x): x² - 2x = 3x - 4 x² - 5x + 4 = 0 (x - 4)(x - 1) = 0 x = 4 или x = 1

Подставляем найденные x обратно в функции: При x = 4: f(4) = 4² - 24 = 16 - 8 = 8, g(4) = 34 - 4 = 12 - 4 = 8 При x = 1: f(1) = 1² - 21 = 1 - 2 = -1, g(1) = 31 - 4 = 3 - 4 = -1

Таким образом, точки пересечения графиков функций f(x) и g(x) имеют координаты (4,8) и (1,-1).

д) График функции y=f(x) лежит выше графика функции y=g(x) в точках, где f(x) > g(x): x² - 2x > 3x - 4 x² - 5x + 4 > 0 (x - 4)(x - 1) > 0

Это неравенство выполняется при x < 1 или x > 4. Таким образом, график функции y=f(x) лежит выше графика функции y=g(x) при x < 1 или x > 4.

Давайте разберем каждый пункт вашего вопроса по очереди.

а) Вычисление значений функций

1. Найдем значение ( f(-2) ):

[ f(x) = x^2 - 2x ] [ f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8 ]

1. Найдем значение ( g(-10) ):

[ g(x) = 3x - 4 ] [ g(-10) = 3(-10) - 4 = -30 - 4 = -34 ]

1. Найдем значение ( f(g(-1)) ):

Сначала вычислим ( g(-1) ):

[ g(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7 ]

Теперь подставим это значение в ( f(x) ):

[ f(-7) = (-7)^2 - 2(-7) = 49 + 14 = 63 ]

б) Значения ( x ), при которых ( f(x)=3 )

Решим уравнение:

[ x^2 - 2x = 3 ] [ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Для данного уравнения ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ):

[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 ]

в) Точки пересечения графиков функций с осями координат

Для функции ( f(x) ):

1. Пересечение с осью ( y ):

При ( x = 0 ):

[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 ] Точка: ( (0, 0) )

1. Пересечение с осью ( x ):

Найдем ( x ), при которых ( f(x) = 0 ):

[ x^2 - 2x = 0 ] [ x(x - 2) = 0 ]

Корни:

[ x = 0 ] [ x = 2 ]

Точки: ( (0, 0) ) и ( (2, 0) )

Для функции ( g(x) ):

1. Пересечение с осью ( y ):

При ( x = 0 ):

[ g(0) = 3 \cdot 0 - 4 = -4 ] Точка: ( (0, -4) )

1. Пересечение с осью ( x ):

Найдем ( x ), при которых ( g(x) = 0 ):

[ 3x - 4 = 0 ] [ 3x = 4 ] [ x = \frac{4}{3} ]

Точка: ( \left( \frac{4}{3}, 0 \right) )

г) Координаты точек пересечения графиков функций

Найдем ( x ), при которых ( f(x) = g(x) ):

[ x^2 - 2x = 3x - 4 ] [ x^2 - 5x + 4 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 ]

Теперь найдем ( y )-координаты для этих ( x )-значений:

Для ( x = 4 ):

[ y = f(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8 ]

Для ( x = 1 ):

[ y = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1 ]

Точки пересечения: ( (4, 8) ) и ( (1, -1) )

д) Области, в которых ( f(x) > g(x) )

Найдем значения ( x ), при которых ( f(x) > g(x) ):

[ x^2 - 2x > 3x - 4 ] [ x^2 - 5x + 4 > 0 ]

Решим неравенство:

[ x^2 - 5x + 4 = 0 ]

Мы уже нашли корни этого уравнения: ( x = 4 ) и ( x = 1 ).

Теперь исследуем знаки на промежутках:

1. ( x < 1 )
2. ( 1 < x < 4 )
3. ( x > 4 )

Для ( x < 1 ):

Возьмем тестовую точку ( x = 0 ):

[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 ]

Для ( 1 < x < 4 ):

Возьмем тестовую точку ( x = 2 ):

[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0 ]

Для ( x > 4 ):

Возьмем тестовую точку ( x = 5 ):

[ 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0 ]

Таким образом, ( f(x) > g(x) ) на интервалах ( (-\infty, 1) \cup (4, \infty) ).

а) а) f(-2) = (-2)² - 2(-2) = 4 + 4 = 8 g(-10) = 3(-10) - 4 = -30 - 4 = -34 f(g(-1)) = f(3(-1) - 4) = f(-7) = (-7)² - 2(-7) = 49 + 14 = 63

б) Для нахождения значений x, при которых f(x) = 3, подставим f(x) = 3 и решим уравнение: x² - 2x = 3 x² - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 или x = -1

в) Точки пересечения графиков данных функций с осями координат: Для f(x): При пересечении с осью x: x² - 2x = 0 => x(x - 2) = 0 => x = 0 или x = 2 При пересечении с осью y: f(0) = 0² - 2*0 = 0 Точки пересечения: (0, 0) и (2, 0)

Для g(x): При пересечении с осью x: 3x - 4 = 0 => 3x = 4 => x = 4/3 При пересечении с осью y: g(0) = 3*0 - 4 = -4 Точки пересечения: (4/3, 0) и (0, -4)

г) Для нахождения точек пересечения графиков данных функций, решим уравнение f(x) = g(x): x² - 2x = 3x - 4 x² - 5x + 4 = 0 (x - 4)(x - 1) = 0 x = 4 или x = 1

Координаты точек пересечения: (4, 3) и (1, -1)

д) Точки, в которых график функции y = f(x) лежит выше графика функции y = g(x), можно найти, если рассмотреть разности f(x) - g(x): f(x) - g(x) = (x² - 2x) - (3x - 4) = x² - 5x + 4 Точки, в которых f(x) лежит выше g(x), будут являться корнями уравнения x² - 5x + 4 > 0: (x - 4)(x - 1) > 0 x < 1 или x > 4

Таким образом, график функции y = f(x) лежит выше графика функции y = g(x) при x < 1 или x > 4.