Даны точки A(3;-1);B(0;-5);С(-2;1).Найти: AB;BC;CA;AB+BC;AC-AB; m=2AB+3BC-0.5CA.

Чтобы найти длины отрезков ( AB ), ( BC ) и ( CA ), воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Формула для расстояния между точками ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ) выглядит следующим образом:

[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

1. Вычисление длины отрезка ( AB )

Точки ( A(3, -1) ) и ( B(0, -5) ):

[ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5 + 1)^2} = \sqrt{9 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Вычисление длины отрезка ( BC )

Точки ( B(0, -5) ) и ( C(-2, 1) ):

[ BC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1 + 5)^2} = \sqrt{4 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]

3. Вычисление длины отрезка ( CA )

Точки ( C(-2, 1) ) и ( A(3, -1) ):

[ CA = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} ]

4. Сумма отрезков ( AB + BC )

Теперь можем сложить длины отрезков ( AB ) и ( BC ):

[ AB + BC = 5 + 2\sqrt{10} ]

5. Разность отрезков ( AC - AB )

Теперь найдем разность ( AC ) и ( AB ):

[ AC - AB = \sqrt{29} - 5 ]

6. Вычисление выражения ( m = 2AB + 3BC - 0.5CA )

Теперь подставим найденные значения в выражение для ( m ):

[ m = 2AB + 3BC - 0.5CA ]

Подставляем значения:

• ( AB = 5 )
• ( BC = 2\sqrt{10} )
• ( CA = \sqrt{29} )

Теперь вычислим:

[ m = 2(5) + 3(2\sqrt{10}) - 0.5(\sqrt{29}) ] [ m = 10 + 6\sqrt{10} - 0.5\sqrt{29} ]

Таким образом, мы нашли все необходимые длины отрезков и вычислили значение выражения ( m ):

• ( AB = 5 )
• ( BC = 2\sqrt{10} )
• ( CA = \sqrt{29} )
• ( AB + BC = 5 + 2\sqrt{10} )
• ( AC - AB = \sqrt{29} - 5 )
• ( m = 10 + 6\sqrt{10} - 0.5\sqrt{29} )

Чтобы ответить на все пункты задания, последовательно вычислим длины отрезков и значения выражений. Рассмотрим всё по порядку.

1. Длины отрезков

Длина отрезка между двумя точками в координатной плоскости вычисляется по формуле расстояния между точками: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Найдём длины AB, BC, CA:

1. Длина AB (между точками (A(3; -1)) и (B(0; -5))): [ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. ]

2. Длина BC (между точками (B(0; -5)) и (C(-2; 1))): [ BC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}. ]

3. Длина CA (между точками (C(-2; 1)) и (A(3; -1))): [ CA = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}. ]

Итак, длины отрезков: [ AB = 5, \quad BC = 2\sqrt{10}, \quad CA = \sqrt{29}. ]

2. Выражение (AB + BC)

Просто сложим длины отрезков (AB) и (BC): [ AB + BC = 5 + 2\sqrt{10}. ]

3. Выражение (AC - AB)

Вычтем из длины (CA) длину (AB): [ AC - AB = \sqrt{29} - 5. ]

4. Выражение (m = 2AB + 3BC - 0.5CA)

Теперь вычислим значение выражения для (m). Подставим найденные длины (AB = 5), (BC = 2\sqrt{10}), (CA = \sqrt{29}):

[ m = 2AB + 3BC - 0.5CA. ]

Раскрываем: [ m = 2 \cdot 5 + 3 \cdot (2\sqrt{10}) - 0.5 \cdot \sqrt{29}. ]

Упростим: [ m = 10 + 6\sqrt{10} - 0.5\sqrt{29}. ]

Ответ для (m): [ m = 10 + 6\sqrt{10} - 0.5\sqrt{29}. ]

Итоговые ответы:

1. (AB = 5),
2. (BC = 2\sqrt{10}),
3. (CA = \sqrt{29}),
4. (AB + BC = 5 + 2\sqrt{10}),
5. (AC - AB = \sqrt{29} - 5),
6. (m = 10 + 6\sqrt{10} - 0.5\sqrt{29}).