Даны векторы а={1;2;-1}и b={2;-1;3} найдите пр ab-проекцию вектора b на ось вектора а

Для нахождения проекции одного вектора на другой необходимо воспользоваться формулой проекции вектора ( \mathbf{b} ) на вектор ( \mathbf{a} ). Формула проекции вектора ( \mathbf{b} ) на вектор ( \mathbf{a} ) выглядит следующим образом:

[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \right) \mathbf{a} ]

Здесь:

• ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) обозначает скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
• ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} ) обозначает скалярное произведение вектора ( \mathbf{a} ) с самим собой.

Теперь найдем скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Векторы: [ \mathbf{a} = {1, 2, -1} ] [ \mathbf{b} = {2, -1, 3} ]

Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 - 2 - 3 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -3 ]

Теперь найдем скалярное произведение вектора ( \mathbf{a} ) с самим собой:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1 + 4 + 1 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 6 ]

Теперь можем найти проекцию вектора ( \mathbf{b} ) на вектор ( \mathbf{a} ):

[ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \right) \mathbf{a} ] [ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left( \frac{-3}{6} \right) \mathbf{a} ] [ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left( -\frac{1}{2} \right) \mathbf{a} ]

Теперь умножим вектор ( \mathbf{a} ) на (-\frac{1}{2}):

[ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = -\frac{1}{2} \cdot {1, 2, -1} ] [ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left{ -\frac{1}{2}, -1, \frac{1}{2} \right} ]

Итак, проекция вектора ( \mathbf{b} ) на вектор ( \mathbf{a} ) равна ( \left{ -\frac{1}{2}, -1, \frac{1}{2} \right} ).

Проекция вектора b на ось вектора a вычисляется по формуле:

proj_ab = (b a) / |a|^2 a

Где:

• b * a - скалярное произведение векторов b и a
• |a|^2 - квадрат длины вектора a

Подставим значения векторов a и b:

b a = (12) + (2-1) + (-13) = 2 - 2 - 3 = -3 |a|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6

Теперь подставим найденные значения в формулу:

proj_ab = (-3) / 6 * {1;2;-1} = {(-3/6); (-6/6); (3/6)} = {-0.5; -1; 0.5}

Таким образом, проекция вектора b на ось вектора a равна {-0.5; -1; 0.5}.