Даны векторы а={1;2;-1}и b={2;-1;3} найдите пр ab-проекцию вектора b на ось вектора а

Для нахождения проекции одного вектора на другой необходимо воспользоваться формулой проекции вектора $\mathbf{b}$ на вектор $\mathbf{a}$. Формула проекции вектора $\mathbf{b}$ на вектор $\mathbf{a}$ выглядит следующим образом:

${\text{proj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}\right)\mathbf{a}$

Здесь:

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ обозначает скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}$ обозначает скалярное произведение вектора $\mathbf{a}$ с самим собой.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

Векторы: $\mathbf{a}=1,2,-1$ $\mathbf{b}=2,-1,3$

Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\cdot 2+2\cdot (-1)+(-1)\cdot 3$ $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2-2-3$ $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-3$

Теперь найдем скалярное произведение вектора $\mathbf{a}$ с самим собой:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=1\cdot 1+2\cdot 2+(-1)\cdot (-1)$ $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=1+4+1$ $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=6$

Теперь можем найти проекцию вектора $\mathbf{b}$ на вектор $\mathbf{a}$:

[ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ \mathbf{a} ] [ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ \mathbf{a} ] ${\text{proj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=(-\frac{1}{2})\mathbf{a}$

Теперь умножим вектор $\mathbf{a}$ на $-\frac{1}{2}$:

[ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = -\frac{1}{2} \cdot {1, 2, -1} ] [ \text{proj}{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left{ -\frac{1}{2}, -1, \frac{1}{2} \right} ]

Итак, проекция вектора $\mathbf{b}$ на вектор $\mathbf{a}$ равна $\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$.

Проекция вектора b на ось вектора a вычисляется по формуле:

proj_ab = (b a) / |a|^2 a

Где:

• b * a - скалярное произведение векторов b и a
• |a|^2 - квадрат длины вектора a

Подставим значения векторов a и b:

b a = (12) + (2-1) + (-13) = 2 - 2 - 3 = -3 |a|^2 = 1^2 + 2^2 + $-1$^2 = 1 + 4 + 1 = 6

Теперь подставим найденные значения в формулу:

proj_ab = $-3$ / 6 * {1;2;-1} = {$-3/6$; $-6/6$; $3/6$} = {-0.5; -1; 0.5}

Таким образом, проекция вектора b на ось вектора a равна {-0.5; -1; 0.5}.