Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой . Найти стороны прямоугольника
Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой . Найти стороны прямоугольника
Пусть одна из сторон прямоугольника равна х см, а другая - у см. Тогда по условию задачи мы имеем систему уравнений: 1) (х + 8)^2 = x^2 + y^2 2) (у + 4)^2 = x^2 + y^2
Раскроем скобки: 1) x^2 + 16x + 64 = x^2 + y^2 2) y^2 + 8y + 16 = x^2 + y^2
Сократим y^2 на обеих сторонах уравнений: 1) 16x + 64 = y^2 2) 8y + 16 = x^2
Теперь выразим у и х через x и y, соответственно: 1) y = √(16x + 64) 2) x = √(8y + 16)
Подставим выражения для x и y из уравнений 1 и 2 в уравнения 1 и 2: 1) (8y + 16) + 64 = y^2 2) (16x + 64) + 16 = x^2
Решив эту систему уравнений, мы найдем значения x и y, которые будут сторонами прямоугольника.
Для решения задачи обозначим стороны прямоугольника через ( a ) и ( b ). Нам известно, что диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой.
Предположим, что ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника, а ( d ) — длина его диагонали. Согласно условию, мы можем записать два уравнения:
Из этих уравнений следует: ( a + 8 = b + 4 )
Преобразуем это уравнение для нахождения одной стороны через другую: ( a + 8 = b + 4 ) ( a - b = -4 ) ( a = b - 4 )
Теперь используем теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон: [ d^2 = a^2 + b^2 ]
Подставим выражения для диагонали и одной из сторон в это уравнение. Подставим ( d = a + 8 ) и ( a = b - 4 ): [ (a + 8)^2 = a^2 + b^2 ]
Теперь подставим ( a = b - 4 ): [ ((b - 4) + 8)^2 = (b - 4)^2 + b^2 ] [ (b + 4)^2 = (b - 4)^2 + b^2 ]
Раскроем скобки и упростим: [ (b + 4)^2 = b^2 + 8b + 16 ] [ (b - 4)^2 = b^2 - 8b + 16 ]
Подставим в исходное уравнение: [ b^2 + 8b + 16 = b^2 - 8b + 16 + b^2 ] [ b^2 + 8b + 16 = 2b^2 - 8b + 16 ]
Перенесем все члены в одну сторону уравнения: [ b^2 + 8b + 16 - 2b^2 + 8b - 16 = 0 ] [ -b^2 + 16b = 0 ]
Вынесем общий множитель за скобки: [ b(b - 16) = 0 ]
Отсюда следует, что либо ( b = 0 ), либо ( b = 16 ). Поскольку сторона прямоугольника не может быть нулевой длины, ( b = 16 ).
Теперь можем найти ( a ): [ a = b - 4 ] [ a = 16 - 4 ] [ a = 12 ]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.
Пусть одна сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет х + 4, а диагональ - √(x^2 + (x + 4)^2). Учитывая, что диагональ на 8 см больше одной стороны, получаем уравнение: √(x^2 + (x + 4)^2) = x + 8 Решив это уравнение, найдем, что x = 6. Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 10 см.
