Для функции у=3/корень(6х-5) +7/х^2 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А(1;-5)

Для нахождения первообразной данной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать функцию у=3/√(6x-5) + 7/x^2 к виду у=3(6x-5)^(-1/2) + 7x^(-2).

2. Найти первообразные обоих слагаемых по отдельности. Для первого слагаемого используем формулу интегрирования степенной функции: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C. Для второго слагаемого используем формулу интегрирования функции вида x^(-n): ∫x^(-n) dx = (x^(-n+1))/(-n+1) + C.

3. Полученные первообразные сложить и добавить произвольную постоянную С.

4. Используя условие прохождения графика через точку А(1;-5), найдем значение постоянной С.

5. Подставим значение С в общую первообразную и получим окончательный ответ.

Таким образом, найденная первообразная функции у=3/√(6x-5) + 7/x^2, проходящая через точку А(1;-5), будет у=6√(6x-5) - 7/x + 5.

Чтобы найти первообразную функции ( y = \frac{3}{\sqrt{6x - 5}} + \frac{7}{x^2} ), график которой проходит через точку ( A(1; -5) ), следуем следующим шагам:

1. Найдем первообразную (неопределенный интеграл) функции:

   [ y = \frac{3}{\sqrt{6x - 5}} + \frac{7}{x^2} ]

   Разделим функцию на два отдельных слагаемых и найдем интегралы каждого из них по отдельности.

2. Для первого слагаемого (\frac{3}{\sqrt{6x - 5}}):

   Перепишем его в более удобной форме: [ \frac{3}{\sqrt{6x - 5}} = 3(6x - 5)^{-\frac{1}{2}} ]

   Интегрируем с использованием подстановки ( u = 6x - 5 ). Тогда ( du = 6 dx ) или ( dx = \frac{1}{6} du ):

   [ \int 3(6x - 5)^{-\frac{1}{2}} \, dx = 3 \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6} \, du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du ]

   Теперь интегрируем ( \int u^{-\frac{1}{2}} \, du ):

   [ \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = 2u^{\frac{1}{2}} ]

   Подставим обратно ( u = 6x - 5 ):

   [ \frac{1}{2} \cdot 2(6x - 5)^{\frac{1}{2}} = (6x - 5)^{\frac{1}{2}} ]

   Таким образом, первообразная первого слагаемого:

   [ \int \frac{3}{\sqrt{6x - 5}} \, dx = (6x - 5)^{\frac{1}{2}} ]

3. Для второго слагаемого (\frac{7}{x^2}):

   Перепишем его в виде:

   [ \frac{7}{x^2} = 7x^{-2} ]

   Интегрируем:

   [ \int 7x^{-2} \, dx = 7 \int x^{-2} \, dx ]

   [ \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x} ]

   Таким образом, первообразная второго слагаемого:

   [ \int \frac{7}{x^2} \, dx = -\frac{7}{x} ]

4. Объединяем первообразные обоих слагаемых и добавляем постоянную интегрирования ( C ):

   [ \int \left( \frac{3}{\sqrt{6x - 5}} + \frac{7}{x^2} \right) \, dx = (6x - 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{x} + C ]

5. Используем условие, что график проходит через точку ( A(1; -5) ), чтобы найти ( C ):

   Подставляем ( x = 1 ) и ( y = -5 ) в уравнение первообразной:

   [ (6 \cdot 1 - 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{1} + C = -5 ]

   [ (6 - 5)^{\frac{1}{2}} - 7 + C = -5 ]

   [ 1 - 7 + C = -5 ]

   [ C = -5 + 7 - 1 ]

   [ C = 1 ]

6. Запишем окончательное выражение для первообразной:

   [ F(x) = (6x - 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{x} + 1 ]

Таким образом, первообразная функции ( y = \frac{3}{\sqrt{6x - 5}} + \frac{7}{x^2} ), график которой проходит через точку ( A(1; -5) ), имеет вид:

[ F(x) = (6x - 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{x} + 1 ]