Для новогодних подарков закупили 78 плиток шоколада, 156 пряников, 52пачки печенья, 104апельсина и 130яблок....

Чтобы найти наибольшее число одинаковых подарков, нужно определить наибольший общий делитель (НОД) чисел 78, 156, 52, 104 и 130.

Сначала найдем НОД:

• 78 = 2 × 3 × 13
• 156 = 2² × 3 × 13
• 52 = 2² × 13
• 104 = 2³ × 13
• 130 = 2 × 5 × 13

Общий множитель — 13, минимальная степень 2 (т.е. 2¹). Таким образом, НОД = 2¹ × 13 = 26.

Наибольшее число одинаковых подарков, которое можно собрать, равно 26.

Для того чтобы определить наибольшее число одинаковых подарков, которые можно собрать, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) всех количеств предметов: 78 плиток шоколада, 156 пряников, 52 пачки печенья, 104 апельсина и 130 яблок. Это связано с тем, что каждый подарок должен содержать одинаковое количество каждого из этих предметов.

Шаг 1: Разложим каждое из чисел на простые множители.

1. 78:

   • Делим на 2: ( 78 \div 2 = 39 ),
   • Делим на 3: ( 39 \div 3 = 13 ),
   • 13 — простое число.

   Итак, разложение: ( 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13 ).

2. 156:

   • Делим на 2: ( 156 \div 2 = 78 ),
   • Разложение 78 (уже сделано выше): ( 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13 ).

   Итак, разложение: ( 156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 ).

3. 52:

   • Делим на 2: ( 52 \div 2 = 26 ),
   • Делим на 2: ( 26 \div 2 = 13 ).

   Итак, разложение: ( 52 = 2^2 \cdot 13 ).

4. 104:

   • Делим на 2: ( 104 \div 2 = 52 ),
   • Разложение 52 (уже сделано выше): ( 52 = 2^2 \cdot 13 ).

   Итак, разложение: ( 104 = 2^3 \cdot 13 ).

5. 130:

   • Делим на 2: ( 130 \div 2 = 65 ),
   • Делим на 5: ( 65 \div 5 = 13 ).

   Итак, разложение: ( 130 = 2 \cdot 5 \cdot 13 ).

Шаг 2: Найдём наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти НОД, нужно взять из разложений только те простые множители, которые встречаются во всех числах, и выбрать их с наименьшей степенью.

• Простые множители всех чисел: ( 2, 3, 5, 13 ).
• Общие множители: ( 2, 13 ) (присутствуют во всех разложениях).
• Степени этих множителей:
  • ( 2 ): минимальная степень — ( 2^1 ) (присутствует в разложении ( 78 )),
  • ( 13 ): минимальная степень — ( 13^1 ) (присутствует во всех разложениях).

Итак, ( \text{НОД} = 2^1 \cdot 13^1 = 26 ).

Шаг 3: Ответ.

Наибольшее число одинаковых подарков, которые можно собрать, равно 26. В каждый подарок войдёт:

• ( 78 \div 26 = 3 ) плитки шоколада,
• ( 156 \div 26 = 6 ) пряников,
• ( 52 \div 26 = 2 ) пачки печенья,
• ( 104 \div 26 = 4 ) апельсина,
• ( 130 \div 26 = 5 ) яблок.

Для того чтобы определить, какое наибольшее число одинаковых подарков можно собрать из данных продуктов, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) всех количеств.

Итак, у нас есть следующие количества:

• Шоколад: 78 плиток
• Пряники: 156 штук
• Печенье: 52 пачки
• Апельсины: 104 штуки
• Яблоки: 130 штук

Нам нужно вычислить НОД для чисел 78, 156, 52, 104 и 130.

1. Разложим каждое число на простые множители:

   • ( 78 = 2 \times 3 \times 13 )
   • ( 156 = 2^2 \times 3 \times 13 )
   • ( 52 = 2^2 \times 13 )
   • ( 104 = 2^3 \times 13 )
   • ( 130 = 2 \times 5 \times 13 )

2. Посмотрим на множители:

   • Общим множителем для всех чисел является ( 13 ).
   • Остальные множители ( 2 ), ( 3 ) и ( 5 ) присутствуют не во всех числах.

3. Теперь определим НОД:

   Находим минимальные степени всех простых множителей, которые участвуют в разложении:

   • Для ( 2 ): минимальная степень — ( 2^0 ) (потому что 130 не содержит 2).
   • Для ( 3 ): минимальная степень — ( 3^0 ) (потому что 52 и 130 не содержат 3).
   • Для ( 5 ): минимальная степень — ( 5^0 ) (потому что все числа, кроме 130, не содержат 5).
   • Для ( 13 ): минимальная степень — ( 13^1 ) (все числа содержат 13).

Теперь мы можем выразить НОД:

[ \text{НОД} = 2^0 \times 3^0 \times 5^0 \times 13^1 = 13 ]

Таким образом, наибольшее число одинаковых подарков, которые можно собрать, составляет 13.

Это означает, что мы можем собрать 13 подарков, в каждом из которых будет одинаковое количество шоколада, пряников, печенья, апельсинов и яблок. Теперь, чтобы узнать, сколько каждого продукта будет в одном подарке, мы можем разделить каждое количество на 13:

• Шоколад: ( \frac{78}{13} = 6 ) плиток
• Пряники: ( \frac{156}{13} = 12 ) штук
• Печенье: ( \frac{52}{13} = 4 ) пачки
• Апельсины: ( \frac{104}{13} = 8 ) штук
• Яблоки: ( \frac{130}{13} = 10 ) штук

Таким образом, в каждом из 13 подарков будет по 6 плиток шоколада, 12 пряников, 4 пачки печенья, 8 апельсинов и 10 яблок.