Доказать: 1) 1-cos^2t/1-sin^2t + tgt*ctgt = 1/cos^2t

Для доказательства данного уравнения можно использовать тригонометрические тождества и свойства функций. Давайте разберемся пошагово.

1. Рассмотрим первую часть выражения: [ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} ] Используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2 t + \cos^2 t = 1). Тогда (1 - \cos^2 t = \sin^2 t) и (1 - \sin^2 t = \cos^2 t). Подставляя, получаем: [ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} ]

2. Тангенс и котангенс определяются как: [ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} ] Тогда их произведение равно: [ \tan t \cdot \cot t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1 ]

3. Сложим полученные выражения: [ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 1 = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t} ] Здесь мы снова использовали тождество (\sin^2 t + \cos^2 t = 1).

Таким образом, мы приходим к тому, что: [ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} + \tan t \cdot \cot t = \frac{1}{\cos^2 t} ] Что и требовалось доказать.

Для доказательства данного утверждения начнем с левой части уравнения:

1 - cos^2t / 1 - sin^2t + tg^2t*ctg^2t

Мы знаем, что cos^2t + sin^2t = 1, отсюда следует, что 1 - cos^2t = sin^2t и 1 - sin^2t = cos^2t.

Подставим это в наше уравнение:

sin^2t / cos^2t + tg^2t*ctg^2t

tg^2t = sin^2t / cos^2t

Подставляем это обратно в уравнение:

(sin^2t / cos^2t) * (cos^2t / sin^2t) = 1

Следовательно, левая часть уравнения равна 1, а это и есть правая часть уравнения. Таким образом, утверждение доказано.