Доказать методом математической индукции равенства: 1³+3³+5³+…+(2n-1)³ =n²(2n²-1)

Для доказательства данного равенства методом математической индукции необходимо выполнить два шага.

1. База индукции: При n=1: 1³ = 1²(2*1²-1) 1 = 1(2-1) 1 = 1, что верно.

2. Предположение индукции: Предположим, что равенство верно для некоторого k, то есть 1³+3³+5³+.+(2k-1)³ = k²(2k²-1).

3. Шаг индукции: Докажем, что равенство верно для k+1: 1³+3³+5³+.+(2k-1)³+(2(k+1)-1)³ = (k+1)²(2(k+1)²-1) Разделим равенство на составляющие: k²(2k²-1) + (2(k+1)-1)³ = (k+1)²(2(k+1)²-1) Упростим выражение: k²(2k²-1) + (2k+1)³ = (k+1)²(2k²+4k+1-1) k²(2k²-1) + 8k+1 = (k+1)²(2k²+4k) Раскроем скобки: 2k⁴-k²+8k+1 = 2k⁴+4k³+2k²+4k²+8k Упростим выражение: 2k⁴-k²+8k+1 = 2k⁴+4k³+6k²+8k 2k⁴-k²+1 = 2k⁴+4k³+6k² -k²+1 = 4k³+6k² 1 = k²+6k²+4k³ 1 = k²(2k²+1) 1 = k²(2k²-1) Что и требовалось доказать.

Таким образом, равенство доказано методом математической индукции.

Чтобы доказать равенство методом математической индукции, мы следуем стандартной процедуре, состоящей из двух основных шагов: проверка базы индукции и индукционный шаг.

Шаг 1: База индукции

Проверим, что утверждение верно для n = 1. Подставляем n = 1 в левую и правую части равенства:

Левая часть: [1^3 = 1]

Правая часть: [1^2(2 \times 1^2 - 1) = 1^2 \times 1 = 1]

Таким образом, для n = 1 обе части равенства совпадают: (1 = 1). База индукции доказана.

Шаг 2: Индукционный шаг

Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть:

[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1)]

Теперь нужно доказать, что утверждение верно для n = k + 1:

[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k - 1)^3 + (2(k+1) - 1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)]

Сначала выразим левую часть с учетом предположения индукции:

[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k - 1)^3 + (2k + 1)^3 = k^2(2k^2 - 1) + (2k + 1)^3]

Теперь упростим правую часть:

[(k+1)^2(2(k+1)^2 - 1) = (k^2 + 2k + 1)(2(k^2 + 2k + 1) - 1)]

Раскроем скобки в правой части:

[(k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 2 - 1) = (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1)]

Теперь проверим, что левая и правая части равны.

Левая часть уже выглядит как: [k^2(2k^2 - 1) + (2k + 1)^3]

Разложим ((2k + 1)^3): [(2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1]

Теперь сложим:

[k^2(2k^2 - 1) + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2k^4 + k^2 + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1]

Сравним с правой частью: [(k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1) = 2k^4 + 4k^3 + k^2 + 4k^3 + 8k^2 + 2k + 2k^2 + 4k + 1]

Суммируем: [2k^4 + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1]

Обе части совпадают, следовательно, индукционный шаг доказан.

Таким образом, методом математической индукции доказано, что

[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)]

для всех натуральных чисел n.