Доказать тождество 1-2cos2^a/sinacosa=tga-ctga

Для доказательства данного тождества мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

Исходное тождество: 1 - 2cos^2(a) / (sin(a)cos(a)) = tg(a) - ctg(a)

Для начала заметим, что cos(2a) = 2cos^2(a) - 1. Также заметим, что tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

Теперь преобразуем левую сторону исходного тождества: 1 - 2cos^2(a) / (sin(a)cos(a)) = 1 - 2cos^2(a) / sin(2a) = sin(2a) / sin(2a) - 2cos^2(a) / sin(2a) = (sin(2a) - 2cos^2(a)) / sin(2a)

Далее заметим, что sin(2a) = 2sin(a)cos(a), поэтому: (sin(2a) - 2cos^2(a)) / sin(2a) = 2sin(a)cos(a) - 2cos^2(a) / 2sin(a)cos(a) = 2cos(a)(sin(a) - cos(a)) / 2cos(a)sin(a) = (sin(a) - cos(a)) / sin(a) = tg(a) - ctg(a)

Таким образом, левая часть равна правой части исходного тождества, что и требовалось доказать.

Чтобы доказать тождество

[ \frac{1 - 2\cos^2 a}{\sin a \cos a} = \tan a - \cot a, ]

начнем с упрощения левой части.

Левая часть:

Выражение (\cos 2a) в тригонометрии можно записать как (1 - 2\sin^2 a) или (2\cos^2 a - 1). В вашем случае (\cos 2a = 2\cos^2 a - 1).

Значит, (1 - 2\cos^2 a) можно переписать как (-\cos 2a).

Подставим это в левую часть:

[ \frac{1 - 2\cos^2 a}{\sin a \cos a} = \frac{-\cos 2a}{\sin a \cos a}. ]

Правая часть:

В правой части у нас разность тангенса и котангенса:

[ \tan a - \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} - \frac{\cos a}{\sin a}. ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \tan a - \cot a = \frac{\sin^2 a - \cos^2 a}{\sin a \cos a}. ]

Теперь правая часть:

[ \tan a - \cot a = \frac{-(\cos^2 a - \sin^2 a)}{\sin a \cos a} = \frac{-\cos 2a}{\sin a \cos a}. ]

Сравнение:

Теперь видно, что левая часть и правая часть равны:

[ \frac{-\cos 2a}{\sin a \cos a} = \frac{-\cos 2a}{\sin a \cos a}. ]

Таким образом, тождество доказано.