Доказать тождество: Cos^2a-sin^2a/cosa-sina-tga*cosa=cosa

Для доказательства данного тождества мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Дано: (cos^2a - sin^2a) / (cosa - sina) - tga * cosa = cosa

Раскроем квадраты и преобразуем уравнение:

(cos^2a - sin^2a) = cos(2a) (cosa - sina) = sin(2a)

Таким образом, у нас получается:

cos(2a) / sin(2a) - tga * cosa = cosa

Преобразуем дробь cos(2a) / sin(2a) в виде tg(2a), получим:

tg(2a) - tga * cosa = cosa

tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a))

Подставим полученное значение в уравнение:

2tg(a) / (1 - tg^2(a)) - tga * cosa = cosa

Разделим обе части уравнения на cosa, получим:

2tg(a) / cosa * (1 - tg^2(a)) - tga = 1

Преобразуем выражение 2tg(a) / cosa в виде sin(2a) / cosa, а tga в виде sin(a) / cosa:

sin(2a) / cosa * (1 - tg^2(a)) - sin(a) = 1

Раскроем скобки и преобразуем выражения, получим:

sin(a)cos(a) - sin(a) = 1

sin(a)(cos(a) - 1) = 1

sin(a)(-sin^2(a)) = 1

• sin^3(a) = 1

Таким образом, мы доказали данное тождество.

Конечно, давайте подробно докажем данное тождество:

[ \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos a - \sin a} - \tan a \cdot \cos a = \cos a ]

Для начала упростим выражение в числителе. Напомним тригонометрическое тождество:

[ \cos^2 a - \sin^2 a = \cos(2a) ]

Тогда выражение приобретает вид:

[ \frac{\cos(2a)}{\cos a - \sin a} - \tan a \cdot \cos a ]

Теперь рассмотрим первую часть выражения:

[ \frac{\cos(2a)}{\cos a - \sin a} ]

Используем тождество для (\cos(2a)):

[ \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 \quad \text{или} \quad \cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a ]

Однако в этом случае более удобно использовать:

[ \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a ]

Теперь давайте обратим внимание на вторую часть выражения:

[ \tan a \cdot \cos a ]

Поскольку (\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}), умножим это на (\cos a):

[ \tan a \cdot \cos a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \cos a = \sin a ]

Теперь наше выражение выглядит так:

[ \frac{\cos(2a)}{\cos a - \sin a} - \sin a ]

Подставим (\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a) обратно:

[ \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos a - \sin a} - \sin a ]

Распределим числитель на знаменатель:

[ \frac{(\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a)}{\cos a - \sin a} - \sin a ]

Знаменатель (\cos a - \sin a) сокращается:

[ \cos a + \sin a - \sin a ]

Сокращаем (\sin a):

[ \cos a ]

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение тождественно равно (\cos a):

[ \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos a - \sin a} - \tan a \cdot \cos a = \cos a ]

Тождество доказано.

Доказательство тождества:

Используем тригонометрические тождества: cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a) tg(a) = sin(a)/cos(a)

Подставляем: (cos^2(a) - sin^2(a)) / (cos(a) - sin(a) - tg(a) cos(a)) = (cos(2a)) / (cos(a) - sin(a) - (sin(a)/cos(a)) cos(a)) = (cos(2a)) / (cos(a) - sin(a) - sin(a)) = cos(2a) / cos(a) = cos(a)

Таким образом, тождество доказано.