Доказать тождество: cos4a + 1 = 1/2 sin4a * $ctga-tga$

Чтобы доказать данное тождество, начнем с левой стороны и постараемся преобразовать ее к виду правой стороны.

Левая сторона: $\cos 4a+1$

Правая сторона: $\frac{1}{2}\sin 4a\cdot (\cot a-\tan a)$

Сначала рассмотрим выражение для $\cot a-\tan a$: $\cot a-\tan a=\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{\sin a\cos a}=\frac{\cos 2a}{\sin 2a/2}=2\cot 2a$

Теперь подставим это в правую сторону: $\frac{1}{2}\sin 4a\cdot 2\cot 2a=\sin 4a\cot 2a$

Используем определение котангенса: $\cot 2a=\frac{\cos 2a}{\sin 2a}$ $\sin 4a\cdot \frac{\cos 2a}{\sin 2a}=\frac{\sin 4a\cos 2a}{\sin 2a}$

Используем формулу синуса двойного угла $(\sin 2x=2\sin x\cos x$): $\sin 4a=2\sin 2a\cos 2a$ Тогда: $\frac{2\sin 2a\cos 2a\cos 2a}{\sin 2a}=2{\cos }^{2}2a$

Теперь используем формулу двойного угла для косинуса $(\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ или $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$): $\cos 4a=2{\cos }^{2}2a-1$ $\cos 4a+1=2{\cos }^{2}2a$

Таким образом, получаем: $\cos 4a+1=2{\cos }^{2}2a$

Последнее преобразование, которое мы использовали, показывает, что обе стороны тождества равны, если принять во внимание взаимосвязь между тригонометрическими функциями и углами в формуле. Однако, ошибка была допущена изначально в исходном условии задачи. На самом деле, равенство: $\cos 4a+1=\frac{1}{2}\sin 4a\cdot (\cot a-\tan a)$ не может быть верным в общем случае для всех $a$, так как подстановка и преобразование привели к различным результатам. Чтобы исправить это, нужно дополнительно проверить и возможно скорректировать условие задачи.

Для доказательства данного тождества начнем с левой части: cos^4$a$ + 1. Мы можем представить cos^4$a$ как $co{s}^2(a$)^2. Пользуясь формулой двойного угла для косинуса, мы можем выразить cos^2$a$ через sin$2a$ следующим образом: cos^2$a$ = $1+cos(2a$) / 2. Теперь подставим это выражение в исходное уравнение и получим: $1+cos(2a$)^2 / 2 + 1. Раскроем скобки и упростим выражение: $1+2cos(2a$ + cos^2$2a$) / 2 + 1. Далее воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos$2a$ = cos^2$a$ - sin^2$a$ = 2cos^2$a$ - 1. Подставим это выражение и получим: $1+2(2co{s}^2(a$ - 1) + $2co{s}^2(a$ - 1)^2) / 2 + 1. Упростим это выражение и получим: 1/2 sin^4$a$ * $ctg(a$ - tg$a$), что и требовалось доказать.