Докажите что функция f x нечетная если f(x)=x-1/x+2-x+1/x-2
Докажите что функция f x нечетная если f(x)=x-1/x+2-x+1/x-2
Для того чтобы доказать, что функция f(x) является нечетной, нужно показать, что f(-x) = -f(x) для любого x из области определения функции.
Итак, f(-x) = (-x - 1) / (-x + 2) - (-x + 1) / (-x - 2) = (-x - 1) / (-x + 2) + (x - 1) / (x + 2) = (-x - 1 + x - 1) / (-x + 2) = (-2) / (-x + 2) = 2 / (x - 2).
Сравнивая это с f(x) = (x - 1) / (x + 2) - (x + 1) / (x - 2) = (-x - 1) / (-x + 2) + (x - 1) / (x + 2), мы видим, что f(-x) = -f(x).
Таким образом, функция f(x) является нечетной.
Для доказательства того, что функция нечётная, нам нужно показать, что выполняется равенство ( f(-x) = -f(x) ) для всех ( x ) из области определения функции.
Дана функция: [ f(x) = x - \frac{1}{x} + 2 - x + \frac{1}{x} - 2 ]
Посмотрим, что происходит с функцией при замене ( x ) на ( -x ): [ f(-x) = -x - \frac{1}{-x} + 2 + x - \frac{1}{-x} - 2 ]
Упростим выражение: [ f(-x) = -x + \frac{1}{x} + 2 + x - \frac{1}{x} - 2 ] [ f(-x) = 0 ]
Теперь вернёмся к исходному выражению функции ( f(x) ) и упростим его: [ f(x) = x - \frac{1}{x} + 2 - x + \frac{1}{x} - 2 ] [ f(x) = 0 ]
Таким образом, мы видим, что ( f(x) = 0 ) и ( f(-x) = 0 ) для любого ( x ). Поскольку оба эти значения равны нулю, то ( f(-x) = -f(x) ) также выполняется, так как ( -0 = 0 ).
Однако, из вышеприведённого следует, что функция ( f(x) ) тождественно равна нулю, а не просто нечётна. Функция, которая тождественно равна нулю, является одновременно и чётной, и нечётной. Это особый случай, когда функция не имеет ни чётной, ни нечётной специфики, а просто равна нулю для всех ( x ).
