Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), если: a) F(x)=x^3-5x^2+7x-11 и f(x) - 3x^2-10x+7, x принадлежит R б) F(x) = 2x^5+e^x и f(x)=10x^4+e^x, x принадлежит R
Срочно нужно подробное решение!
Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), если: a) F(x)=x^3-5x^2+7x-11 и f(x) - 3x^2-10x+7, x принадлежит R б) F(x) = 2x^5+e^x и f(x)=10x^4+e^x, x принадлежит R
Срочно нужно подробное решение!
Для доказательства того, что функция ( F(x) ) является первообразной для функции ( f(x) ), необходимо показать, что производная ( F(x) ) равна ( f(x) ).
a) ( F(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 11 ) и ( f(x) = 3x^2 - 10x + 7 )
Найдем производную ( F(x) ): [ F'(x) = (x^3)' - (5x^2)' + (7x)' - (11)' ] [ F'(x) = 3x^2 - 10x + 7 - 0 ] [ F'(x) = 3x^2 - 10x + 7 ]
Как видим, ( F'(x) = f(x) ). Таким образом, функция ( F(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 11 ) является первообразной для функции ( f(x) = 3x^2 - 10x + 7 ), так как ее производная совпадает с ( f(x) ).
б) ( F(x) = 2x^5 + e^x ) и ( f(x) = 10x^4 + e^x )
Найдем производную ( F(x) ): [ F'(x) = (2x^5)' + (e^x)' ] [ F'(x) = 10x^4 + e^x ]
Здесь также, ( F'(x) = f(x) ). Следовательно, функция ( F(x) = 2x^5 + e^x ) является первообразной для функции ( f(x) = 10x^4 + e^x ), так как ее производная тоже совпадает с ( f(x) ).
Таким образом, мы доказали, что в обоих случаях ( F(x) ) действительно является первообразной для ( f(x) ), поскольку производные функций ( F(x) ) в каждом из случаев точно равны соответствующим функциям ( f(x) ).
a) Для того чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нужно показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).
Вычислим производную функции F(x): F'(x) = (x^3)' - (5x^2)' + (7x)' - (11)' F'(x) = 3x^2 - 10x + 7
Теперь сравним производную функции F(x) с функцией f(x): f(x) = 3x^2 - 10x + 7
Мы видим, что производная функции F(x) равна функции f(x), следовательно, функция F(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 11 является первообразной для функции f(x) = 3x^2 - 10x + 7.
б) Для данной части аналогично вычислим производную функции F(x): F'(x) = (2x^5)' + (e^x)' F'(x) = 10x^4 + e^x
Теперь сравним производную функции F(x) с функцией f(x): f(x) = 10x^4 + e^x
Так как производная функции F(x) равна функции f(x), то функция F(x) = 2x^5 + e^x является первообразной для функции f(x) = 10x^4 + e^x.
Таким образом, мы доказали, что в обоих случаях функция F(x) является первообразной для соответствующей функции f(x).
