Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), если: а) F(x)=x^3+4x^2-5x+7 и f(x)=3x^2+8x-5, x∈R; б) F(x)=3x^4-lnx и f(x)=3e^x, x>0
Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), если: а) F(x)=x^3+4x^2-5x+7 и f(x)=3x^2+8x-5, x∈R; б) F(x)=3x^4-lnx и f(x)=3e^x, x>0
Для того чтобы доказать, что функция ( F(x) ) является первообразной функции ( f(x) ), необходимо показать, что производная ( F(x) ) равна ( f(x) ).
а) Проверим первый случай: [ F(x) = x^3 + 4x^2 - 5x + 7 ] Найдем производную ( F'(x) ): [ F'(x) = 3x^2 + 8x - 5 ] Сравним с данной функцией ( f(x) ): [ f(x) = 3x^2 + 8x - 5 ] Так как ( F'(x) = f(x) ), то ( F(x) ) действительно является первообразной для функции ( f(x) ) на всем множестве действительных чисел ( x \in \mathbb{R} ).
б) Теперь рассмотрим второй случай: [ F(x) = 3x^4 - \ln x ] Найдем производную ( F'(x) ): [ F'(x) = 12x^3 - \frac{1}{x} ] Однако здесь возникает проблема: данная производная не соответствует функции ( f(x) = 3e^x ). Сравнение: [ F'(x) = 12x^3 - \frac{1}{x} ] [ f(x) = 3e^x ] Функции совершенно различны. Следовательно, ( F(x) ) не является первообразной для ( f(x) ) в данном случае.
Итак, в первом случае утверждение верно, а во втором — нет.
а) Для доказательства того, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) в данном случае, необходимо показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).
Итак, найдем производную функции F(x): F'(x) = (x^3+4x^2-5x+7)' = 3x^2 + 8x - 5.
Сравнивая полученную производную с функцией f(x), видим, что f(x) = 3x^2 + 8x - 5 = F'(x).
Таким образом, производная функции F(x) равна функции f(x), что означает, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) в данном случае.
б) В данном случае, чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нужно также показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).
Найдем производную функции F(x): F'(x) = (3x^4 - ln(x))' = 12x^3 - 1/x.
Сравнивая полученную производную с функцией f(x), видим, что f(x) = 3e^x = F'(x).
Следовательно, производная функции F(x) равна функции f(x), что означает, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) в данном случае.
Таким образом, в обоих случаях функция F(x) является первообразной для соответствующей функции f(x).
