Докажите, что функция f$x$ четная, если: f$x$= x^2-x/x+2 - x^2+x/x-2

Функция f$x$ является четной, если f$x$ = f$-x$ для всех x из области определения функции. Для доказательства четности функции f$x$ в данном случае, необходимо показать, что f$x$ = f$-x$.

Для доказательства того, что функция f$x$ является четной, необходимо показать, что f$x$ = f$-x$ для всех x из области определения функции.

Подставим -x вместо x в данное уравнение: f$-x$ = $-x$^2 - $-x$ / $-x$ + 2 - $-x$^2 + $-x$ / $-x$ - 2 f$-x$ = x^2 + x / -x + 2 - x^2 - x / -x - 2 f$-x$ = x^2 + x / -x + 2 - x^2 - x / -x - 2 f$-x$ = x^2 - x / x + 2 - x^2 + x / x - 2

После упрощения уравнения, получаем: f$-x$ = x^2 - x / x + 2 - x^2 + x / x - 2 = f$x$

Таким образом, мы убедились, что f$-x$ = f$x$, что и является свойством четной функции. Следовательно, функция f$x$ = x^2 - x / x + 2 - x^2 + x / x - 2 является четной.

Чтобы доказать, что функция $f(x$ ) является четной, нам нужно показать, что $f(-x$ = f$x$ ) для всех значений $x$, для которых функция определена.

Дана функция: $f(x)=\frac{x^2-x}{x+2}-\frac{x^2+x}{x-2}$

Найдем $f(-x$ ): $f(-x)=\frac{(-x{)}^2-(-x)}{-x+2}-\frac{(-x{)}^2+(-x)}{-x-2}$

Вычислим каждый член отдельно:

1. $(-x$^2 = x^2), поэтому: $\frac{(-x{)}^2-(-x)}{-x+2}=\frac{x^2+x}{-x+2}$

2. $(-x$^2 = x^2), поэтому: $\frac{(-x{)}^2+(-x)}{-x-2}=\frac{x^2-x}{-x-2}$

Подставим эти выражения в формулу для $f(-x$ ): $f(-x)=\frac{x^2+x}{-x+2}-\frac{x^2-x}{-x-2}$

Теперь упростим выражение для $f(-x$ ):

Перепишем $f(-x$ ) с учетом изменения знаков в знаменателях: $f(-x)=-\frac{x^2+x}{x-2}+\frac{x^2-x}{x+2}$

Это эквивалентно: $f(-x)=-(\frac{x^2+x}{x-2}-\frac{x^2-x}{x+2})$

Заметим, что: $\frac{x^2-x}{x+2}-\frac{x^2+x}{x-2}=-(\frac{x^2+x}{x-2}-\frac{x^2-x}{x+2})$

Следовательно, $f(-x$ = f$x$ ), что и требовалось доказать. Таким образом, функция $f(x$ ) является четной.