Докажите, что функция f(x) четная, если: f(x)= x^2-x/x+2 - x^2+x/x-2

Функция f(x) является четной, если f(x) = f(-x) для всех x из области определения функции. Для доказательства четности функции f(x) в данном случае, необходимо показать, что f(x) = f(-x).

Для доказательства того, что функция f(x) является четной, необходимо показать, что f(x) = f(-x) для всех x из области определения функции.

Подставим -x вместо x в данное уравнение: f(-x) = (-x)^2 - (-x) / (-x) + 2 - (-x)^2 + (-x) / (-x) - 2 f(-x) = x^2 + x / -x + 2 - x^2 - x / -x - 2 f(-x) = x^2 + x / -x + 2 - x^2 - x / -x - 2 f(-x) = x^2 - x / x + 2 - x^2 + x / x - 2

После упрощения уравнения, получаем: f(-x) = x^2 - x / x + 2 - x^2 + x / x - 2 = f(x)

Таким образом, мы убедились, что f(-x) = f(x), что и является свойством четной функции. Следовательно, функция f(x) = x^2 - x / x + 2 - x^2 + x / x - 2 является четной.

Чтобы доказать, что функция ( f(x) ) является четной, нам нужно показать, что ( f(-x) = f(x) ) для всех значений ( x ), для которых функция определена.

Дана функция: [ f(x) = \frac{x^2 - x}{x + 2} - \frac{x^2 + x}{x - 2} ]

Найдем ( f(-x) ): [ f(-x) = \frac{(-x)^2 - (-x)}{-x + 2} - \frac{(-x)^2 + (-x)}{-x - 2} ]

Вычислим каждый член отдельно:

1. ((-x)^2 = x^2), поэтому: [ \frac{(-x)^2 - (-x)}{-x + 2} = \frac{x^2 + x}{-x + 2} ]

2. ((-x)^2 = x^2), поэтому: [ \frac{(-x)^2 + (-x)}{-x - 2} = \frac{x^2 - x}{-x - 2} ]

Подставим эти выражения в формулу для ( f(-x) ): [ f(-x) = \frac{x^2 + x}{-x + 2} - \frac{x^2 - x}{-x - 2} ]

Теперь упростим выражение для ( f(-x) ):

Перепишем ( f(-x) ) с учетом изменения знаков в знаменателях: [ f(-x) = -\frac{x^2 + x}{x - 2} + \frac{x^2 - x}{x + 2} ]

Это эквивалентно: [ f(-x) = -\left(\frac{x^2 + x}{x - 2} - \frac{x^2 - x}{x + 2}\right) ]

Заметим, что: [ \frac{x^2 - x}{x + 2} - \frac{x^2 + x}{x - 2} = -\left(\frac{x^2 + x}{x - 2} - \frac{x^2 - x}{x + 2}\right) ]

Следовательно, ( f(-x) = f(x) ), что и требовалось доказать. Таким образом, функция ( f(x) ) является четной.