докажите тождество 1-cos^2t/1-sin^2t+tgt*ctgt=1/cos^2t.
докажите тождество 1-cos^2t/1-sin^2t+tgt*ctgt=1/cos^2t.
Для доказательства данного тождества воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:
Итак, начнем с левой части уравнения:
1 - cos^2(t) / (1 - sin^2(t)) + tg(t) * ctg(t)
Преобразуем выражение:
(1 - cos^2(t)) / cos^2(t) + sin(t) / cos(t) * cos(t) / sin(t)
Теперь раскроем скобки:
(sin^2(t) / cos^2(t)) / cos^2(t) + 1
Получаем:
sin^2(t) / cos^2(t) / cos^2(t) + 1
Далее упростим:
sin^2(t) / cos^4(t) + 1
Теперь вспомним, что sin^2(t) = 1 - cos^2(t):
(1 - cos^2(t)) / cos^4(t) + 1
Раскрываем скобки:
1 / cos^4(t) - cos^2(t) / cos^4(t) + 1
1 / cos^4(t) - 1 / cos^2(t) + 1
Теперь объединим дроби с общим знаменателем:
1 - cos^2(t) + cos^4(t) / cos^4(t)
1 - cos^2(t) + 1
2 - cos^2(t)
Последним шагом перепишем выражение в виде 1 / cos^2(t), что равно правой части нашего уравнения, тем самым доказав исходное тождество.
Для доказательства данного тождества преобразуем левую часть выражения и покажем, что она равна правой части.
Дано выражение: [ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} + \tan t \cdot \cot t = \frac{1}{\cos^2 t} ]
Начнем с выражения (\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}).
Заметим, что (1 - \cos^2 t) и (1 - \sin^2 t) можно преобразовать с использованием тригонометрических тождеств:
[1 - \cos^2 t = \sin^2 t ] [1 - \sin^2 t = \cos^2 t ]
Таким образом, выражение (\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}) можно переписать как:
[ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t ]
Теперь рассмотрим вторую часть выражения: (\tan t \cdot \cot t).
Мы знаем, что (\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}) и (\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}).
Таким образом,
[ \tan t \cdot \cot t = \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right) \left( \frac{\cos t}{\sin t} \right) = 1 ]
Теперь, подставляя преобразованные части обратно в исходное выражение, получаем:
[ \tan^2 t + 1 ]
Мы знаем тригонометрическое тождество:
[ \tan^2 t + 1 = \sec^2 t ]
А (\sec t) — это обратная функция к (\cos t), то есть:
[ \sec t = \frac{1}{\cos t} ]
Следовательно,
[ \sec^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} ]
Таким образом, исходное выражение сводится к:
[ \tan^2 t + 1 = \sec^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} ]
Мы доказали, что:
[ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} + \tan t \cdot \cot t = \frac{1}{\cos^2 t} ]
Тождество доказано.
