Докажите,что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/a^2+2+8/a^4-4-2/a^2-2 отрицательно
Докажите,что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/a^2+2+8/a^4-4-2/a^2-2 отрицательно
Давайте рассмотрим данное выражение и попробуем его упростить и исследовать:
Выражение, которое нам нужно исследовать, выглядит так: [ \frac{1}{a^2} + 2 + \frac{8}{a^4} - 4 - \frac{2}{a^2} - 2. ]
Для начала упростим его, объединив подобные члены: [ \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a^2} + \frac{8}{a^4} + 2 - 4 - 2 = \frac{-1}{a^2} + \frac{8}{a^4} - 4. ]
Теперь у нас есть выражение: [ \frac{8}{a^4} - \frac{1}{a^2} - 4. ]
Для удобства анализа, попробуем представить это выражение в другом виде: [ \frac{8 - a^2 - 4a^4}{a^4}. ]
Для дальнейшего исследования выражения на отрицательность, рассмотрим числитель: [ 8 - a^2 - 4a^4 = -4a^4 - a^2 + 8. ]
Рассмотрим квадратное уравнение относительно ( a^2 ): [ 4a^4 + a^2 - 8 = 0. ]
Это уравнение можно решить относительно ( a^2 ), используя методы решения квадратных уравнений. Пусть ( x = a^2 ), тогда уравнение примет вид: [ 4x^2 + x - 8 = 0. ]
Решим это уравнение через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 1 + 128 = 129. ]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня: [ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{129}}{8}, ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{129}}{8}. ]
Теперь, учитывая, что ( x = a^2 ), и ( a^2 ) всегда неотрицательно, мы видим, что только ( x_1 ) может быть допустимым значением, так как ( x_2 ) отрицательно.
Тем не менее, ( x_1 ) является положительным, что означает, что в интервале между корнями ( 4a^4 + a^2 - 8 ) будет отрицательным (так как при ( a = 0 ) выражение отрицательно).
Таким образом, для всех ( a \neq 0 ) выражение ( \frac{8}{a^4} - \frac{1}{a^2} - 4 ) отрицательно.
Для того чтобы доказать, что значение данного выражения отрицательно при всех допустимых значениях переменной a, нужно рассмотреть его в виде одной дроби:
(1/a^2 + 2) + (8/a^4 - 4) - (2/a^2 - 2) = (1 + 2a^2) / a^2 + (8 - 4a^4) / a^4 - (2 - 2a^2) / a^2
Далее можно упростить выражение:
(1 + 2a^2) / a^2 + (8 - 4a^4) / a^4 - (2 - 2a^2) / a^2 = (1 + 2a^2) / a^2 + (8 - 4a^4) / a^4 - (2 - 2a^2) / a^2 = (1 + 2a^2 + 8 - 4a^4 - 2 + 2a^2) / a^2 = (7 - 2a^4) / a^2
Таким образом, значение данного выражения равно (7 - 2a^4) / a^2. Для того чтобы показать, что оно отрицательно при всех допустимых значениях переменной a, нужно рассмотреть знак числителя и знаменателя:
Числитель: 7 - 2a^4. При a = 0, числитель равен 7, что положительно. При a = 1, числитель равен 5, что также положительно. При a = 2, числитель равен -23, что уже отрицательно.
Знаменатель: a^2. Знаменатель всегда положителен при любом допустимом значении переменной a.
Таким образом, при a = 2 значение выражения будет отрицательным. Мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной a выражение (7 - 2a^4) / a^2 отрицательно.
Для доказательства того, что выражение 1/a^2 + 2 + 8/a^4 - 4 - 2/a^2 - 2 отрицательно при всех допустимых значениях переменной, нужно показать, что оно меньше нуля. 1/a^2 + 2 + 8/a^4 - 4 - 2/a^2 - 2 = -4/a^2 + 8/a^4 - 2 Для того чтобы это выражение было отрицательным, необходимо чтобы -4/a^2 + 8/a^4 - 2 < 0 Далее нужно решить это неравенство.
