Докажите,что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/a^2+2+8/a^4-4-2/a^2-2 отрицательно

Давайте рассмотрим данное выражение и попробуем его упростить и исследовать:

Выражение, которое нам нужно исследовать, выглядит так: $\frac{1}{a^2}+2+\frac{8}{a^4}-4-\frac{2}{a^2}-2.$

Для начала упростим его, объединив подобные члены: $\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a^2}+\frac{8}{a^4}+2-4-2=\frac{-1}{a^2}+\frac{8}{a^4}-4.$

Теперь у нас есть выражение: $\frac{8}{a^4}-\frac{1}{a^2}-4.$

Для удобства анализа, попробуем представить это выражение в другом виде: $\frac{8-a^2-4a^4}{a^4}.$

Для дальнейшего исследования выражения на отрицательность, рассмотрим числитель: $8-a^2-4a^4=-4a^4-a^2+8.$

Рассмотрим квадратное уравнение относительно $a^2$: $4a^4+a^2-8=0.$

Это уравнение можно решить относительно $a^2$, используя методы решения квадратных уравнений. Пусть $x=a^2$, тогда уравнение примет вид: $4x^2+x-8=0.$

Решим это уравнение через дискриминант: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 4\cdot (-8)=1+128=129.$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{129}}{8},$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{129}}{8}.$

Теперь, учитывая, что $x=a^2$, и $a^2$ всегда неотрицательно, мы видим, что только $x_1$ может быть допустимым значением, так как $x_2$ отрицательно.

Тем не менее, $x_1$ является положительным, что означает, что в интервале между корнями $4a^4+a^2-8$ будет отрицательным $таккакпри(a=0$ выражение отрицательно).

Таким образом, для всех $a\ne 0$ выражение $\frac{8}{a^4}-\frac{1}{a^2}-4$ отрицательно.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения отрицательно при всех допустимых значениях переменной a, нужно рассмотреть его в виде одной дроби:

$1/a^2+2$ + $8/a^4-4$ - $2/a^2-2$ = $1+2a^2$ / a^2 + $8-4a^4$ / a^4 - $2-2a^2$ / a^2

Далее можно упростить выражение:

$1+2a^2$ / a^2 + $8-4a^4$ / a^4 - $2-2a^2$ / a^2 = $1+2a^2$ / a^2 + $8-4a^4$ / a^4 - $2-2a^2$ / a^2 = $1+2a^2+8-4a^4-2+2a^2$ / a^2 = $7-2a^4$ / a^2

Таким образом, значение данного выражения равно $7-2a^4$ / a^2. Для того чтобы показать, что оно отрицательно при всех допустимых значениях переменной a, нужно рассмотреть знак числителя и знаменателя:

1. Числитель: 7 - 2a^4. При a = 0, числитель равен 7, что положительно. При a = 1, числитель равен 5, что также положительно. При a = 2, числитель равен -23, что уже отрицательно.

2. Знаменатель: a^2. Знаменатель всегда положителен при любом допустимом значении переменной a.

Таким образом, при a = 2 значение выражения будет отрицательным. Мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной a выражение $7-2a^4$ / a^2 отрицательно.

Для доказательства того, что выражение 1/a^2 + 2 + 8/a^4 - 4 - 2/a^2 - 2 отрицательно при всех допустимых значениях переменной, нужно показать, что оно меньше нуля. 1/a^2 + 2 + 8/a^4 - 4 - 2/a^2 - 2 = -4/a^2 + 8/a^4 - 2 Для того чтобы это выражение было отрицательным, необходимо чтобы -4/a^2 + 8/a^4 - 2 < 0 Далее нужно решить это неравенство.