Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за 24 минуты. Определите, за сколько...

Первый фильтр очищает цистерну воды за 24 минуты, значит его производительность составляет 1/24 часть цистерны воды за минуту. Второй фильтр очищает цистерну на 20 минут быстрее, то есть за 24 - 20 = 4 минуты. Значит, его производительность составляет 1/4 часть цистерны воды за минуту. Если второй фильтр работает отдельно, то он очистит цистерну воды за 1/(1/4) = 4 минуты.

Рассмотрим задачу более подробно. Давайте обозначим время, за которое первый фильтр может очистить цистерну воды, через ( x ) минут. Поскольку второй фильтр очищает цистерну на 20 минут быстрее, то время его работы составит ( x - 20 ) минут.

Теперь введем понятие производительности фильтров. Производительность первого фильтра можно выразить как (\frac{1}{x}) цистерны в минуту, а производительность второго фильтра — как (\frac{1}{x-20}) цистерны в минуту.

Когда оба фильтра работают вместе, их суммарная производительность будет равна сумме их индивидуальных производительностей: [ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-20} ]

Известно, что вместе они очищают цистерну за 24 минуты, следовательно, их совместная производительность равна (\frac{1}{24}) цистерны в минуту. Таким образом, мы получаем уравнение: [ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-20} = \frac{1}{24} ]

Чтобы решить это уравнение, нужно найти общий знаменатель для дробей на левой стороне: [ \frac{(x-20) + x}{x(x-20)} = \frac{1}{24} ] [ \frac{2x - 20}{x(x-20)} = \frac{1}{24} ]

Теперь умножим обе стороны уравнения на (24x(x-20)), чтобы избавиться от знаменателей: [ 24(2x - 20) = x(x-20) ] [ 48x - 480 = x^2 - 20x ]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону: [ x^2 - 20x - 48x + 480 = 0 ] [ x^2 - 68x + 480 = 0 ]

Решим полученное квадратичное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 4624 - 1920 = 2704 ]

Найдем корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{68 \pm \sqrt{2704}}{2} = \frac{68 \pm 52}{2} ]

Получаем два значения: [ x_1 = \frac{68 + 52}{2} = 60 ] [ x_2 = \frac{68 - 52}{2} = 8 ]

Так как второе значение ( x = 8 ) не имеет смысла в данной задаче (потому что второй фильтр должен очищать цистерну быстрее первого на 20 минут, что невозможно при ( x = 8 )), правильным является ( x = 60 ).

Теперь найдем время, за которое второй фильтр очистит цистерну: [ x - 20 = 60 - 20 = 40 \text{ минут} ]

Таким образом, второй фильтр очистит цистерну воды за 40 минут, работая отдельно.

Пусть первый фильтр очищает цистерну за x минут, тогда второй фильтр будет очищать цистерну за (x-20) минут.

Согласно условию, если оба фильтра работают вместе, то они очищают цистерну за 24 минуты. Таким образом, у нас есть уравнение:

1/x + 1/(x-20) = 1/24

Решив это уравнение, мы получим значение x, которое будет время, за которое первый фильтр очистит цистерну воды.

Затем, чтобы найти время работы второго фильтра, подставим найденное значение x в выражение (x-20) и получим ответ.

Например, если первый фильтр очищает цистерну за 40 минут, то второй фильтр будет очищать цистерну за (40-20) = 20 минут.