Две трубы работая одновременно наполнили бассейн за 12 часов. первая труба, работая в отдельности наполняет...

Пусть время, за которое вторая труба наполняет бассейн, равно (x) часов. Тогда первая труба наполняет бассейн за (x+18) часов.

Согласно условию, если они работают одновременно, то за 1 час они наполняют (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+18}) часть бассейна. Так как за 12 часов они наполнили весь бассейн, то можно записать уравнение:

[12 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+18} \right) = 1]

Упростим уравнение:

[12x + 12(x+18) = x(x+18)] [12x + 12x + 216 = x^2 + 18x] [24x + 216 = x^2 + 18x] [0 = x^2 + 18x - 24x - 216] [0 = x^2 - 6x - 216] [0 = (x - 18)(x + 12)]

Отсюда получаем два возможных варианта: (x = 18) или (x = -12), но по условию время должно быть положительным, поэтому ответ: вторая труба наполняет бассейн за 18 часов.

Вторая труба наполняет бассейн за 36 часов.

Давайте обозначим время, за которое вторая труба наполняет бассейн, как ( x ) часов. Тогда первая труба наполняет бассейн за ( x + 18 ) часов, поскольку она наполняет его на 18 часов быстрее.

Работа, выполняемая трубой за единицу времени, называется производительностью. Для второй трубы производительность будет равна ( \frac{1}{x} ) бассейна в час, а для первой трубы — ( \frac{1}{x + 18} ) бассейна в час.

Когда обе трубы работают одновременно, их суммарная производительность составит:

[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 18} ]

Из условия задачи известно, что, работая вместе, они наполняют бассейн за 12 часов. То есть их совместная производительность равна (\frac{1}{12}) бассейна в час. Это позволяет составить уравнение:

[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 18} = \frac{1}{12} ]

Чтобы решить это уравнение, сначала приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

[ \frac{x + 18 + x}{x(x + 18)} = \frac{1}{12} ]

Упростим числитель:

[ \frac{2x + 18}{x(x + 18)} = \frac{1}{12} ]

Теперь можно перемножить крест-накрест:

[ 12(2x + 18) = x(x + 18) ]

Раскроем скобки:

[ 24x + 216 = x^2 + 18x ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ x^2 + 18x - 24x - 216 = 0 ]

Приведем подобные члены:

[ x^2 - 6x - 216 = 0 ]

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) для уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) равен:

[ D = b^2 - 4ac ]

Где ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = -216 ). Подставим эти значения:

[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 ]

Найдем корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{6 \pm 30}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{6 + 30}{2} = 18, \quad x_2 = \frac{6 - 30}{2} = -12 ]

Поскольку время не может быть отрицательным, второе значение не подходит. Таким образом, вторая труба наполняет бассейн за 18 часов.