Функция y=x+4/x непрерывна на отрезке [1; 5].Найти её наибольшее и наименьшее значения.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( y = x + \frac{4}{x} ) на отрезке ([1; 5]), мы можем использовать метод критических точек и значения функции на концах отрезка. Функция непрерывна на ([1; 5]), поэтому она достигает своих экстремальных значений либо в критических точках, либо на концах отрезка.

1. Найдём производную функции:

   [ y = x + \frac{4}{x} ]

   Производная функции:

   [ y' = 1 - \frac{4}{x^2} ]

2. Найдём критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует на всём отрезке ([1; 5]), так как (x) не равен нулю.

   Уравняем производную нулю:

   [ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 ]

   Решим это уравнение:

   [ 1 = \frac{4}{x^2} ]

   [ x^2 = 4 ]

   [ x = 2 \quad \text{(поскольку рассматриваем отрезок [1; 5])} ]

3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   • При ( x = 1 ):

     [ y(1) = 1 + \frac{4}{1} = 5 ]

   • При ( x = 2 ):

     [ y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4 ]

   • При ( x = 5 ):

     [ y(5) = 5 + \frac{4}{5} = 5.8 ]

4. Сравним значения:

   • ( y(1) = 5 )
   • ( y(2) = 4 )
   • ( y(5) = 5.8 )

   Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке ([1; 5]) равно 4, а наибольшее значение равно 5.8.

Ответ: Наименьшее значение функции: 4, наибольшее значение функции: 5.8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = x + 4/x на отрезке [1;5] необходимо найти ее производную и решить уравнение f'(x) = 0 для определения экстремумов.

Сначала найдем производную функции y = x + 4/x: y' = 1 - 4/x^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума: 1 - 4/x^2 = 0 4/x^2 = 1 x^2 = 4 x = ±2

Точки x = ±2 являются кандидатами на экстремумы, но так как отрезок [1;5] не содержит точки x = 2, то нам остается проверить только точку x = 1.

Подставим x = 1 в исходную функцию: y(1) = 1 + 4/1 = 5

Теперь найдем значения функции на границах отрезка [1;5]: y(1) = 5 y(5) = 5 + 4/5 = 5.8

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1;5] равно 5, а наибольшее значение равно 5.8.

Наибольшее значение функции y=x+4/x на отрезке [1; 5] равно 6 (достигается при x=1), наименьшее значение равно 5 (достигается при x=2).