«Геометрическая прогрессия» - 9 класс Вариант №1 Написать 4 первых члена последовательности, заданной...

Давайте разберём все вопросы по порядку.

Вопрос 1: 4 первых члена последовательности, заданной формулой ( b_n = 2n^3 ). Является ли последовательность геометрической прогрессией?

Чтобы определить первые четыре члена последовательности ( b_n = 2n^3 ), подставим ( n = 1, 2, 3, 4 ):

1. ( b_1 = 2 \cdot 1^3 = 2 )
2. ( b_2 = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 8 = 16 )
3. ( b_3 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54 )
4. ( b_4 = 2 \cdot 4^3 = 2 \cdot 64 = 128 )

Проверим, является ли последовательность геометрической прогрессией. В геометрической прогрессии отношение любого члена к предыдущему должно быть постоянным (обозначим это отношение как ( q )):

• (\frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{2} = 8)
• (\frac{b_3}{b_2} = \frac{54}{16} \neq 8)
• (\frac{b_4}{b_3} = \frac{128}{54} \neq 8)

Отношения не равны, следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией.

Вопрос 2: Найти 5-й член геометрической прогрессии, если ( b_1 = 4 ) и ( q = -3 ).

В геометрической прогрессии любой член можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии:

[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

Для нахождения 5-го члена подставим значения ( b_1 ) и ( q ):

[ b_5 = 4 \cdot (-3)^{5-1} = 4 \cdot (-3)^4 = 4 \cdot 81 = 324 ]

Вопрос 3: Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ( b_1 = 9 ) и ( q = \frac{1}{3} ).

Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии ( S_n ) вычисляется по формуле:

[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} ]

Подставим ( b_1 = 9 ), ( q = \frac{1}{3} ), и ( n = 6 ):

[ S_6 = 9 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6}{1 - \frac{1}{3}} = 9 \frac{1 - \frac{1}{729}}{\frac{2}{3}} ]

Упростим выражение:

[ S_6 = 9 \cdot \frac{728/729}{2/3} = 9 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = 9 \cdot \frac{728 \cdot 3}{729 \cdot 2} = 9 \cdot \frac{2184}{1458} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12 ]

Вопрос 4: Найти первый член геометрической прогрессии, если ( b_5 = \frac{1}{162} ) и ( q = \frac{1}{2} ).

Используем формулу для ( n )-го члена прогрессии:

[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

При ( n = 5 ):

[ b_5 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} ] [ \frac{1}{162} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{16}\right) ] [ b_1 = \frac{1}{162} \cdot 16 = \frac{16}{162} = \frac{8}{81} ]

Вопрос 5: Найти член геометрической прогрессии, обозначенный буквой ( x ): ( \dots; 2; x; 18; -54; \dots ).

Для нахождения неизвестного члена ( x ) нужно определить знаменатель прогрессии ( q ). Рассчитаем ( q ) из известных членов:

[ q = \frac{18}{x} ] [ q = \frac{-54}{18} = -3 ]

Теперь уравнение для ( q ):

[ \frac{18}{x} = -3 ] [ 18 = -3x ] [ x = -6 ]

Таким образом, последовательность выглядит следующим образом: ( \dots; 2; -6; 18; -54; \dots ).

Надеюсь, это разъясняет все ваши вопросы!

1. Чтобы найти 4 первых члена последовательности, заданной формулой bn=2n3, подставим значения n от 1 до 4: b1 = 21^3 = 2 b2 = 22^3 = 16 b3 = 23^3 = 54 b4 = 24^3 = 128

2. Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого члена к предыдущему равно постоянному числу. В данном случае, проверим: 16/2 = 8 54/16 = 3.375 128/54 = 2.37037

Таким образом, последовательность не является геометрической прогрессией.

1. Чтобы найти 5-й член геометрической последовательности с b1=4 и q=-3, воспользуемся формулой bn = b1 q^(n-1): b5 = 4 (-3)^(5-1) = 4 (-3)^4 = 4 81 = 324

2. Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии с b1=9 и q=1/3, воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии: S6 = b1 (1 - q^6) / (1 - q) = 9 (1 - (1/3)^6) / (1 - 1/3) = 9 (1 - 1/729) / (2/3) = 9 (728/729) / (2/3) = 9 728 3 / 729 * 2 = 8

3. Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, если b5=1/162 и q=1/2, воспользуемся формулой bn = b1 q^(n-1): 1/162 = b1 (1/2)^4 1/162 = b1 1/16 b1 = (1/162) 16 = 1/10

4. Чтобы найти член геометрической прогрессии, обозначенный буквой х, в последовательности 2; х; 18; -54, воспользуемся формулой bn = b1 q^(n-1). Имеем: b2 = 2 q = х 18 = 2 q^2 -54 = 2 q^3

Решив данную систему уравнений, получим значение q = -3, а значит, х = 6.