Геометрическая прогрессия задана условием bn=-17,5*2n . Найдите сумму первых её 7 членов

Геометрическая прогрессия задана формулой ( b_n = -17,5 \cdot 2^n ).

Для нахождения суммы первых 7 членов ( S_7 ) используем формулу суммы геометрической прогрессии:

[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} ]

где:

• ( a = b_0 = -17,5 \cdot 2^0 = -17,5 ),
• ( r = 2 ),
• ( n = 7 ).

Подставляем значения:

[ S_7 = -17,5 \frac{1 - 2^7}{1 - 2} = -17,5 \frac{1 - 128}{-1} = -17,5 \cdot 127 = 2212,5. ]

Таким образом, сумма первых 7 членов прогрессии равна ( 2212,5 ).

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член (начиная со второго) равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид:

[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, ]

где:

• ( b_n ) — ( n )-й член прогрессии,
• ( b_1 ) — первый член прогрессии,
• ( q ) — знаменатель прогрессии.

В задаче дано, что ( b_n = -17,5 \cdot 2^n ). Нужно найти сумму первых 7 членов этой прогрессии.

Шаг 1. Выразим первый член и знаменатель прогрессии.

Общий вид ( b_n ) позволяет выразить первый член (( b_1 )) и знаменатель прогрессии (( q )):

1. Подставляем ( n = 1 ) в формулу ( b_n = -17,5 \cdot 2^n ), чтобы найти ( b_1 ): [ b_1 = -17,5 \cdot 2^1 = -17,5 \cdot 2 = -35. ]

2. Для знаменателя ( q ), вспомним, что: [ q = \frac{b_{n+1}}{b_n}. ] Для ( bn = -17,5 \cdot 2^n ), при увеличении ( n ) на 1, выражение для ( b{n+1} ) становится: [ b{n+1} = -17,5 \cdot 2^{n+1}. ] Тогда: [ q = \frac{b{n+1}}{b_n} = \frac{-17,5 \cdot 2^{n+1}}{-17,5 \cdot 2^n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2. ]

Итак, ( q = 2 ).

Шаг 2. Формула суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии.

Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: [ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \quad q \neq 1. ]

Здесь:

• ( b_1 = -35 ),
• ( q = 2 ),
• ( n = 7 ) (нам нужно найти сумму первых 7 членов).

Шаг 3. Подставляем значения в формулу.

Подставим всё известное в формулу суммы: [ S_7 = -35 \cdot \frac{2^7 - 1}{2 - 1}. ]

Упростим выражение:

1. ( 2^7 = 128 ),
2. ( 2^7 - 1 = 128 - 1 = 127 ),
3. ( 2 - 1 = 1 ).

Тогда: [ S_7 = -35 \cdot \frac{127}{1} = -35 \cdot 127. ]

Шаг 4. Выполним умножение.

Посчитаем произведение: [ -35 \cdot 127 = -4445. ]

Ответ.

Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна: [ S_7 = -4445. ]

Геометрическая прогрессия (ГП) определяется тем, что каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

В данном случае, члены геометрической прогрессии заданы формулой:

[ b_n = -17,5 \cdot 2^n ]

где ( b_n ) — это n-й член прогрессии.

Чтобы найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, сначала определим сами члены:

1. ( b_0 = -17,5 \cdot 2^0 = -17,5 )
2. ( b_1 = -17,5 \cdot 2^1 = -35 )
3. ( b_2 = -17,5 \cdot 2^2 = -70 )
4. ( b_3 = -17,5 \cdot 2^3 = -140 )
5. ( b_4 = -17,5 \cdot 2^4 = -280 )
6. ( b_5 = -17,5 \cdot 2^5 = -560 )
7. ( b_6 = -17,5 \cdot 2^6 = -1120 )

Теперь мы можем записать сумму первых 7 членов:

[ S_7 = b_0 + b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 ]

Подставим значения:

[ S_7 = -17,5 + (-35) + (-70) + (-140) + (-280) + (-560) + (-1120) ]

Теперь сложим все эти числа:

[ S_7 = -17,5 - 35 - 70 - 140 - 280 - 560 - 1120 ]

Сначала сложим первые два числа:

(-17,5 - 35 = -52,5)

Теперь добавим следующее число:

(-52,5 - 70 = -122,5)

Добавим следующее:

(-122,5 - 140 = -262,5)

Теперь добавим следующее:

(-262,5 - 280 = -542,5)

Добавим следующее:

(-542,5 - 560 = -1102,5)

И последнее:

(-1102,5 - 1120 = -2222,5)

Таким образом, сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна:

[ S_7 = -2222,5 ]

В итоге, ответ: сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна (-2222,5).