HELP,контрольная завтра) Найдите F`(x),если: а)F(x)=5√х^3 (Корень пятой степени из х в третей степени)...

а) Для нахождения производной функции F(x) = 5√x^3 используем правило дифференцирования сложной функции.

F`(x) = 5 (1/2) (3x^2)^(1/2) = 5 (1/2) 3^(1/2) x^(2/2) = 5 (1/2) 3^(1/2) x = (15/2) * √3x

б) Для нахождения производной функции F(x) = √(2x - 1) также используем правило дифференцирования сложной функции.

F`(x) = (1/2) (2x - 1)^(-1/2) 2 = (1/√(2x - 1))

Таким образом, производные данных функций равны: а) F(x) = (15/2) * √3x б) F(x) = (1/√(2x - 1))

Конечно, давайте разберем, как найти производные для данных функций.

а) ( F(x) = \sqrt[5]{x^3} )

Сначала перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования:

[ F(x) = (x^3)^{1/5} ]

Применим свойства степеней: это выражение можно переписать как ( x^{3/5} ).

Теперь найдем производную ( F'(x) ) используя правило дифференцирования степенной функции. Если ( f(x) = x^n ), то ( f'(x) = n \cdot x^{n-1} ).

Для ( F(x) = x^{3/5} ), производная будет:

[ F'(x) = \frac{3}{5} \cdot x^{(3/5) - 1} = \frac{3}{5} \cdot x^{-2/5} ]

Или, если переписать в виде корня:

[ F'(x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}} ]

б) ( F(x) = \sqrt{2x - 1} )

Перепишем функцию в виде степенной:

[ F(x) = (2x - 1)^{1/2} ]

Теперь применим правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки). Если ( f(g(x)) = (g(x))^n ), то производная будет ( f'(g(x)) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x) ).

В нашем случае ( g(x) = 2x - 1 ) и ( n = 1/2 ).

Сначала найдем производную внутренней функции ( g(x) ):

[ g'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 ]

Теперь применим правило цепочки:

[ F'(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x - 1)^{-1/2} \cdot 2 ]

[ F'(x) = (2x - 1)^{-1/2} ]

Или, если переписать в виде корня:

[ F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}} ]

Вот и всё! Мы нашли производные для обеих функций. Удачи на контрольной!