Имеет ли уравнение x^2+y^2=4 решения?Если да,приведите пример,если нет объясните почему.

Уравнение ( x^2 + y^2 = 4 ) действительно имеет решения. Давайте разберём его подробнее.

Это уравнение представляет собой окружность радиуса 2 с центром в начале координат (0, 0) на плоскости ( xy ). Чтобы понять, имеет ли оно решения, достаточно определить, есть ли точки ((x, y)) на плоскости, которые удовлетворяют этому уравнению.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Подставим ( x = 0 ): [ 0^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2. ] Это даёт нам две точки: ( (0, 2) ) и ( (0, -2) ).

2. Подставим ( x = 2 ): [ 2^2 + y^2 = 4 \implies 4 + y^2 = 4 \implies y^2 = 0 \implies y = 0. ] Это даёт нам одну точку: ( (2, 0) ).

3. Подставим ( x = -2 ): [ (-2)^2 + y^2 = 4 \implies 4 + y^2 = 4 \implies y^2 = 0 \implies y = 0. ] Это даёт нам одну точку: ( (-2, 0) ).

4. Подставим ( x = 1 ): [ 1^2 + y^2 = 4 \implies 1 + y^2 = 4 \implies y^2 = 3 \implies y = \pm \sqrt{3}. ] Это даёт нам две точки: ( (1, \sqrt{3}) ) и ( (1, -\sqrt{3}) ).

5. Подставим ( x = \sqrt{2} ): [ (\sqrt{2})^2 + y^2 = 4 \implies 2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm \sqrt{2}. ] Это даёт нам две точки: ( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) ) и ( (\sqrt{2}, -\sqrt{2}) ).

Таким образом, уравнение ( x^2 + y^2 = 4 ) имеет множество решений, и мы привели несколько примеров точек, которые ему удовлетворяют. Фактически, каждое значение ( x ) в интервале от (-2) до (2) (включительно) даст соответствующее значение ( y ), так что сумма квадратов этих значений равна 4.

Данное уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (0,0) и радиусом 2. Так как окружность является замкнутым множеством, то уравнение имеет бесконечно много решений. Например, решениями могут быть точки (2,0) и (-2,0), (0,2) и (0,-2), (sqrt(2),sqrt(2)) и (-sqrt(2),-sqrt(2)), и так далее.

Таким образом, уравнение x^2+y^2=4 имеет бесконечно много решений.