Интеграл (4/3x^3-4/3x^2+5)dx

Для нахождения неопределенного интеграла (\int \left(\frac{4}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^2 + 5\right) \, dx), мы будем использовать стандартные правила интегрирования полиномов. Правило интегрирования полиномов гласит, что для любого члена вида (ax^n), интеграл будет равен (\frac{a}{n+1}x^{n+1} + C), где (C) — это константа интегрирования.

Теперь применим это правило к каждому члену в подынтегральной функции:

1. Интегрируем первый член (\frac{4}{3}x^3): [ \int \frac{4}{3}x^3 \, dx = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3+1}x^{3+1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}x^4 = \frac{1}{3}x^4 ]

2. Интегрируем второй член (-\frac{4}{3}x^2): [ \int -\frac{4}{3}x^2 \, dx = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2+1}x^{2+1} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}x^3 = -\frac{4}{9}x^3 ]

3. Интегрируем константу (5): [ \int 5 \, dx = 5x ]

Теперь объединим все результаты:

[ \int \left(\frac{4}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^2 + 5\right) \, dx = \frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{9}x^3 + 5x + C ]

Где (C) — произвольная константа интегрирования. Это решение является общим для данного неопределенного интеграла.

Для решения данного интеграла необходимо воспользоваться формулой интегрирования для различных типов функций. В данном случае мы имеем функцию вида (4/3x^3 - 4/3x^2 + 5)dx. Для интегрирования каждого слагаемого данной функции воспользуемся формулами интегрирования степенных функций:

∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C, где n ≠ -1.

Произведем интегрирование каждого слагаемого:

∫(4/3x^3)dx = (4/3) (1/4)x^4 + C = (1/3)x^4 + C, ∫(-4/3x^2)dx = (-4/3) (1/3)x^3 + C = (-4/9)x^3 + C, ∫5dx = 5x + C.

Таким образом, интеграл ∫(4/3x^3 - 4/3x^2 + 5)dx равен (1/3)x^4 - (4/9)x^3 + 5x + C, где C - произвольная постоянная.