Иследуйте функцию f(x)=x в кубе -3хв квадрате +4 и постройте график

Для исследования функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 ), необходимо выполнить несколько шагов, включая анализ её производных, нахождение критических точек, исследование на монотонность и выпуклость, а также построение графика.

1. Нахождение производной

Найдём первую производную функции:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x. ]

2. Критические точки

Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ):

[ 3x^2 - 6x = 0 ]

Разложим на множители:

[ 3x(x - 2) = 0. ]

Следовательно, ( x_1 = 0 ) и ( x_2 = 2 ).

3. Исследование на монотонность

Проанализируем знак производной ( f'(x) = 3x(x - 2) ) на интервалах:

• Для ( x < 0 ): ( f'(x) = 3x(x - 2) ) отрицательно, значит, функция убывает.
• Для ( 0 < x < 2 ): ( f'(x) = 3x(x - 2) ) положительно, значит, функция возрастает.
• Для ( x > 2 ): ( f'(x) = 3x(x - 2) ) положительно, значит, функция продолжает возрастать.

4. Нахождение второй производной

Найдём вторую производную для анализа выпуклости:

[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6. ]

5. Точки перегиба

Точки перегиба находятся из условия ( f''(x) = 0 ):

[ 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1. ]

6. Исследование выпуклости

Анализируем знак второй производной на интервалах:

• Для ( x < 1 ): ( f''(x) = 6x - 6 ) отрицательно, значит, функция вогнута.
• Для ( x > 1 ): ( f''(x) = 6x - 6 ) положительно, значит, функция выпукла.

7. Построение графика

Соберем всю информацию:

• Критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).
• Функция убывает на интервале ( (-\infty, 0) ), возрастает на интервале ( (0, \infty) ).
• Точка перегиба: ( x = 1 ).
• Значение функции в критических точках: ( f(0) = 4 ), ( f(2) = 0 ).
• Функция имеет вид кубической параболы, поэтому её график будет выглядеть как кубическая кривая с одной точкой перегиба.

Теперь, используя всю эту информацию, можно построить график функции. График будет иметь точку минимума в ( x = 0 ), точку перегиба в ( x = 1 ), и функцию, которая убывает до ( x = 0 ), затем возрастает, имея нулевое значение в ( x = 2 ).

Функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. График функции - парабола вверх с вершиной в точке (1, 0).

Для исследования функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 сначала найдем ее производную, чтобы определить экстремумы и точки перегиба. Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 6x. Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 3x^2 - 6x = 0 => x(3x - 6) = 0 => x = 0 или x = 2. Точки экстремума: x = 0, x = 2.

Далее найдем вторую производную для определения характера экстремумов и точек перегиба. f''(x) = 6x - 6. Подставим найденные точки экстремума: f''(0) = -6 < 0 => точка x = 0 - локальный максимум, f''(2) = 6 > 0 => точка x = 2 - локальный минимум.

Чтобы найти точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю: 6x - 6 = 0 => x = 1. Точка перегиба: x = 1.

Теперь построим график функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. На графике будут отмечены точки экстремума (0, 4) и (2, -4), а также точка перегиба (1, 2). График будет иметь форму кубической параболы, открывшейся вверх.