Используя определение модуля ,запишите выражение без знака модуля а) |x-5|; б) |x-5|+|x+8|

Для решения задачи необходимо использовать определение модуля. Модуль числа ( a ) определяется следующим образом:

[ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0, \ -a, & \text{если } a < 0. \end{cases} ]

Рассмотрим каждое из выражений по отдельности.

а) ( |x - 5| )

1. Рассмотрим, когда ( x - 5 \geq 0 ). Это выполняется для ( x \geq 5 ). В этом случае модуль раскрывается как: [ |x-5| = x - 5, \quad \text{если } x \geq 5. ]

2. Рассмотрим, когда ( x - 5 < 0 ). Это выполняется для ( x < 5 ). В этом случае модуль раскрывается как: [ |x-5| = -(x-5) = -x + 5, \quad \text{если } x < 5. ]

Итак, для ( |x - 5| ) выражение без модуля будет:

[ |x - 5| = \begin{cases} x - 5, & \text{если } x \geq 5, \ 5 - x, & \text{если } x < 5. \end{cases} ]

б) ( |x - 5| + |x + 8| )

Для этого выражения необходимо отдельно раскрыть каждый модуль, учитывая области, где выражения внутри модулей меняют знак. Разберёмся с каждым модулем:

1. Модуль ( |x - 5| ): Мы уже выяснили, что: [ |x - 5| = \begin{cases} x - 5, & \text{если } x \geq 5, \ 5 - x, & \text{если } x < 5. \end{cases} ]

2. Модуль ( |x + 8| ): Аналогично, для ( |x + 8| ) мы рассмотрим два случая:

   • Если ( x + 8 \geq 0 ), то ( x \geq -8 ), и модуль раскрывается как: [ |x + 8| = x + 8, \quad \text{если } x \geq -8. ]
   • Если ( x + 8 < 0 ), то ( x < -8 ), и модуль раскрывается как: [ |x + 8| = -(x + 8) = -x - 8, \quad \text{если } x < -8. ]

Теперь объединим все возможные случаи, чтобы раскрыть оба модуля.

Случай 1: ( x \geq 5 )

В этом случае ( x - 5 \geq 0 ) и ( x + 8 \geq 0 ), поэтому оба модуля раскрываются как: [ |x - 5| = x - 5, \quad |x + 8| = x + 8. ] Сумма: [ |x - 5| + |x + 8| = (x - 5) + (x + 8) = 2x + 3, \quad \text{если } x \geq 5. ]

Случай 2: ( -8 \leq x < 5 )

В этом случае ( x - 5 < 0 ), но ( x + 8 \geq 0 ). Поэтому модули раскрываются как: [ |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5, \quad |x + 8| = x + 8. ] Сумма: [ |x - 5| + |x + 8| = (-x + 5) + (x + 8) = 13, \quad \text{если } -8 \leq x < 5. ]

Случай 3: ( x < -8 )

В этом случае ( x - 5 < 0 ) и ( x + 8 < 0 ), поэтому оба модуля раскрываются как: [ |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5, \quad |x + 8| = -(x + 8) = -x - 8. ] Сумма: [ |x - 5| + |x + 8| = (-x + 5) + (-x - 8) = -2x - 3, \quad \text{если } x < -8. ]

Итоговое решение

[ |x - 5| + |x + 8| = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \geq 5, \ 13, & \text{если } -8 \leq x < 5, \ -2x - 3, & \text{если } x < -8. \end{cases} ]

Чтобы записать выражения без знака модуля, нужно использовать определение модуля, которое заключается в следующем:

• Если ( a \geq 0 ), то ( |a| = a ).
• Если ( a < 0 ), то ( |a| = -a ).

Теперь применим это определение к каждому из выражений.

а) ( |x - 5| )

Мы рассматриваем два случая для ( x - 5 ):

1. Случай 1: ( x - 5 \geq 0 ) (то есть ( x \geq 5 ))

   • В этом случае ( |x - 5| = x - 5 ).

2. Случай 2: ( x - 5 < 0 ) (то есть ( x < 5 ))

   • В этом случае ( |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5 ).

Таким образом, можно записать выражение без знака модуля в виде:

[ |x - 5| = \begin{cases} x - 5, & \text{если } x \geq 5 \ -x + 5, & \text{если } x < 5 \end{cases} ]

б) ( |x - 5| + |x + 8| )

Теперь рассмотрим оба модуля:

1. Случай 1: ( x - 5 \geq 0 ) и ( x + 8 \geq 0 ) (то есть ( x \geq 5 ))

   • В этом случае ( |x - 5| = x - 5 ) и ( |x + 8| = x + 8 ).
   • Сумма будет: [ |x - 5| + |x + 8| = (x - 5) + (x + 8) = 2x + 3. ]

2. Случай 2: ( x - 5 \geq 0 ) и ( x + 8 < 0 ) (но так как ( x + 8 < 0 ) при ( x < -8 ), это невозможно, так как ( x ) не может одновременно быть больше 5 и меньше -8).

3. Случай 3: ( x - 5 < 0 ) и ( x + 8 \geq 0 ) (то есть ( -8 \leq x < 5 ))

   • В этом случае ( |x - 5| = -x + 5 ) и ( |x + 8| = x + 8 ).
   • Сумма будет: [ |x - 5| + |x + 8| = (-x + 5) + (x + 8) = 13. ]

4. Случай 4: ( x - 5 < 0 ) и ( x + 8 < 0 ) (то есть ( x < -8 ))

   • В этом случае ( |x - 5| = -x + 5 ) и ( |x + 8| = -x - 8 ).
   • Сумма будет: [ |x - 5| + |x + 8| = (-x + 5) + (-x - 8) = -2x - 3. ]

Теперь можем записать выражение без знака модуля:

[ |x - 5| + |x + 8| = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \geq 5 \ 13, & \text{если } -8 \leq x < 5 \ -2x - 3, & \text{если } x < -8 \end{cases} ]

Таким образом, мы получили полное представление каждого выражения без знаков модуля, учитывая все возможные случаи для значений ( x ).