Используя периодичность тригонометрических функций,найдите значение выражения: 1)sin 390 2)cos 420 3)tg...

Для нахождения значений тригонометрических функций, используя их периодичность, важно понимать, что:

• синус и косинус имеют период (360^\circ) или (2\pi) радиан.
• тангенс и котангенс имеют период (180^\circ) или (\pi) радиан.

Теперь решим каждое выражение:

1) (\sin 390^\circ)

Период синуса — (360^\circ), поэтому (\sin 390^\circ = \sin(390^\circ - 360^\circ) = \sin 30^\circ).

Значение: (\sin 30^\circ = \frac{1}{2}).

2) (\cos 420^\circ)

Период косинуса — (360^\circ), поэтому (\cos 420^\circ = \cos(420^\circ - 360^\circ) = \cos 60^\circ).

Значение: (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}).

3) (\tan 540^\circ)

Период тангенса — (180^\circ), поэтому (\tan 540^\circ = \tan(540^\circ - 3 \times 180^\circ) = \tan 0^\circ).

Значение: (\tan 0^\circ = 0).

4) (\cot 450^\circ)

Период котангенса — (180^\circ), поэтому (\cot 450^\circ = \cot(450^\circ - 2 \times 180^\circ) = \cot 90^\circ).

Значение: (\cot 90^\circ) не определен, так как (\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}), а (\tan 90^\circ) не определен.

5) (\tan \frac{7\pi}{3})

Период тангенса — (\pi), поэтому (\tan \frac{7\pi}{3} = \tan \left(\frac{7\pi}{3} - 2\pi\right) = \tan \left(\frac{7\pi}{3} - \frac{6\pi}{3}\right) = \tan \frac{\pi}{3}).

Значение: (\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}).

6) (\sin \frac{11\pi}{6})

Период синуса — (2\pi), поэтому (\sin \frac{11\pi}{6} = \sin \left(\frac{11\pi}{6} - 2\pi\right) = \sin \left(\frac{11\pi}{6} - \frac{12\pi}{6}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)).

Значение: (\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}).

7) (\cos \frac{9\pi}{4})

Период косинуса — (2\pi), поэтому (\cos \frac{9\pi}{4} = \cos \left(\frac{9\pi}{4} - 2\pi\right) = \cos \left(\frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4}).

Значение: (\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}).

8) (\cot \frac{10\pi}{3})

Период котангенса — (\pi), поэтому (\cot \frac{10\pi}{3} = \cot \left(\frac{10\pi}{3} - 3\pi\right) = \cot \left(\frac{10\pi}{3} - \frac{9\pi}{3}\right) = \cot \frac{\pi}{3}).

Значение: (\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}).

Таким образом, используя периодичность тригонометрических функций, мы смогли найти значения всех выражений.

1) sin 390 = sin (360 + 30) = sin 30 = 0.5 2) cos 420 = cos (360 + 60) = cos 60 = 0.5 3) tg 540 = tg (360 + 180) = tg 180 = 0 4) ctg 450 = ctg (360 + 90) = ctg 90 = 0 5) tg 7π дробь 3 = tg (6π + π дробь 3) = tg π дробь 3 = √3 6) sin 11π дробь 6 = sin (6π + 5π дробь 6) = sin 5π дробь 6 = -0.5 7) cos 9π дробь 4 = cos (8π + π дробь 4) = cos π дробь 4 = √2 / 2 8) ctg 10π дробь 3 = ctg (9π + π дробь 3) = ctg π дробь 3 = 1 / √3