Исследовать функцию f(x)=x^3-3x^2 и построить её график.

Для исследования функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 ) выполним следующие шаги:

1. Область определения функции Функция полиномиальная, поэтому её область определения — все действительные числа: ( D(f) = (-\infty, \infty) ).

2. Четность/нечетность функции Проверим функцию на четность/нечетность. Поскольку ( f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2 \neq f(x) ) и ( f(-x) \neq -f(x) ), функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Пересечения с осями координат

   • Ось Y: ( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0 ), точка пересечения (0, 0).
   • Ось X: решаем уравнение ( x^3 - 3x^2 = 0 ). Выносим общий множитель ( x^2 ) за скобки: ( x^2(x - 3) = 0 ). Отсюда ( x = 0 ) или ( x = 3 ). Точки пересечения с осью X: (0, 0) и (3, 0).

4. Производная и критические точки Найдем первую производную: ( f'(x) = 3x^2 - 6x ). Решаем уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 6x = 0, \quad x(3x - 6) = 0, \quad x = 0 \text{ или } x = 2. ] Это критические точки. Исследуем знаки производной:

   • ( f'(x) > 0 ) при ( x < 0 ) или ( x > 2 ) (функция возрастает).
   • ( f'(x) < 0 ) при ( 0 < x < 2 ) (функция убывает).

5. Вторая производная и точки перегиба Найдем вторую производную: ( f''(x) = 6x - 6 ). Решаем уравнение ( f''(x) = 0 ): [ 6x - 6 = 0, \quad x = 1. ] Это возможная точка перегиба. Исследуем знаки второй производной:

   • ( f''(x) > 0 ) при ( x > 1 ) (выпуклость вверх).
   • ( f''(x) < 0 ) при ( x < 1 ) (выпуклость вниз).

6. Асимптоты У полиномиальной функции нет вертикальных и наклонных асимптот.

7. Построение графика Используя полученные результаты, построим график:

   • Начинаем с точки (0, 0), идем вниз до точки (1, -2) (точка перегиба), затем поднимаемся к точке (3, 0) и продолжаем рост в бесконечность.
   • На интервалах убывания и возрастания функции основывайтесь на знаках производной.
   • Учитывайте точки перегиба и изменения выпуклости.

График представляет собой кубическую кривую, начинающуюся в нижней левой части координатной плоскости, пересекающуюся с осью X в точках (0,0) и (3,0), имеющую точку перегиба при ( x = 1 ), и уходящую в верхнюю правую часть плоскости.

Для исследования функции f(x) = x^3 - 3x^2 сначала найдем ее производные.

f'(x) = 3x^2 - 6x f''(x) = 6x - 6

Находим точки экстремума, приравнивая первую производную к нулю:

3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0 x = 0, x = 2

Теперь найдем значения функции в найденных точках и в крайних точках области определения:

f(0) = 0 f(2) = 2^3 - 3*2^2 = 8 - 12 = -4 f(-∞) = -∞ f(∞) = ∞

Таким образом, находим, что точка (2, -4) является точкой экстремума и график функции имеет минимум в этой точке. График функции выглядит следующим образом:

[Вставьте изображение графика функции f(x) = x^3 - 3x^2]

На графике видно, что функция имеет один локальный минимум в точке (2, -4) и стремится к бесконечности при x -> -∞ и x -> ∞.