Исследовать функцию и построить график f $x$=4x^2-x^4

Для исследования функции f$x$ = 4x^2 - x^4 сначала найдем ее производную, чтобы определить точки экстремума и направление возрастания/убывания функции.

f'$x$ = 8x - 4x^3

Далее найдем точки, в которых производная равна нулю:

8x - 4x^3 = 0 4x$2-x^2$ = 0 x = 0, x = ±√2

Теперь определим знак производной в каждом интервале: 1) x < -√2: f'$x$ < 0, функция убывает 2) -√2 < x < 0: f'$x$ > 0, функция возрастает 3) 0 < x < √2: f'$x$ > 0, функция возрастает 4) x > √2: f'$x$ < 0, функция убывает

Таким образом, функция имеет точку максимума в x = -√2 и точку минимума в x = √2.

Далее построим график функции f$x$ = 4x^2 - x^4. Для этого определим поведение функции в окрестности найденных точек экстремума и построим график, учитывая полученную информацию об убывании и возрастании функции.

Для исследования функции $f(x$ = 4x^2 - x^4 ) и построения её графика, выполним следующие шаги:

1. Определение области определения функции. Функция $f(x$ = 4x^2 - x^4 ) определена для всех $x$ из множества действительных чисел, т.е. $D(f$ = \mathbb{R} ).

2. Исследование на четность/нечетность. Функция четная, так как $f(-x$ = 4$-x$^2 - $-x$^4 = 4x^2 - x^4 = f$x$ ). Это означает, что график функции симметричен относительно оси $y$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   • С осью $y$: подставляем $x=0$, получаем $f(0$ = 0 ).
   • С осью $x$: решаем уравнение $4x^2-x^4=0$. Можно выразить как $x^2(4-x^2$ = 0 ), откуда $x^2=0$ или $x^2=4$, следовательно, $x=0,x=2,x=-2$.

4. Нахождение производной и критических точек. Производная функции: $f^{\prime }(x$ = 8x - 4x^3 ). Решаем уравнение $f^{\prime }(x$ = 0 ): $8x-4x^3=0$ $4x(2-x^2)=0$ Отсюда $x=0$ или $x^2=2$, т.е. $x=\pm \sqrt{2}$.

5. Исследование на экстремумы. Используя вторую производную $f^{″}(x$ = 8 - 12x^2 ), определим выпуклость и вогнутость:

   • $f^{″}(0$ = 8 > 0 ) — минимум в точке $x=0$.
   • $f^{″}(\sqrt{2}$ = 8 - 12 \times 2 = -16 < 0 ) — максимум в точке $x=\sqrt{2}$.
   • $f^{″}(-\sqrt{2}$ = -16 < 0 ) — максимум в точке $x=-\sqrt{2}$.

6. Поведение на бесконечности. При $x\to \pm \mathrm{\infty }$, $f(x$ \to -\infty ), так как старший член $-x^4$ доминирует и отрицателен.

7. Построение графика. На основании собранной информации можем построить график:

   • Функция принимает максимальные значения в точках $x=\pm \sqrt{2}$, где $f(\sqrt{2}$ = 4$\sqrt{2}$^2 - $\sqrt{2}$^4 = 8 - 4 = 4 ).
   • Функция имеет минимум в точке $x=0$, где $f(0$ = 0 ).
   • График симметричен относительно оси $y$ и имеет форму "W".

Это позволяет визуализировать функцию как волнообразную кривую с явными максимумами при $x=\pm \sqrt{2}$ и минимумом в начале координат, при этом ветви функции уходят в бесконечность вниз при увеличении $|x|$.

Для исследования функции f$x$ = 4x^2 - x^4 необходимо найти ее производные, точки экстремума, асимптоты, и построить график.