Исследовать функцию и построить график f (x)=4x^2-x^4

Для исследования функции f(x) = 4x^2 - x^4 сначала найдем ее производную, чтобы определить точки экстремума и направление возрастания/убывания функции.

f'(x) = 8x - 4x^3

Далее найдем точки, в которых производная равна нулю:

8x - 4x^3 = 0 4x(2 - x^2) = 0 x = 0, x = ±√2

Теперь определим знак производной в каждом интервале: 1) x < -√2: f'(x) < 0, функция убывает 2) -√2 < x < 0: f'(x) > 0, функция возрастает 3) 0 < x < √2: f'(x) > 0, функция возрастает 4) x > √2: f'(x) < 0, функция убывает

Таким образом, функция имеет точку максимума в x = -√2 и точку минимума в x = √2.

Далее построим график функции f(x) = 4x^2 - x^4. Для этого определим поведение функции в окрестности найденных точек экстремума и построим график, учитывая полученную информацию об убывании и возрастании функции.

Для исследования функции ( f(x) = 4x^2 - x^4 ) и построения её графика, выполним следующие шаги:

1. Определение области определения функции. Функция ( f(x) = 4x^2 - x^4 ) определена для всех ( x ) из множества действительных чисел, т.е. ( D(f) = \mathbb{R} ).

2. Исследование на четность/нечетность. Функция четная, так как ( f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x) ). Это означает, что график функции симметричен относительно оси ( y ).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   • С осью ( y ): подставляем ( x = 0 ), получаем ( f(0) = 0 ).
   • С осью ( x ): решаем уравнение ( 4x^2 - x^4 = 0 ). Можно выразить как ( x^2(4 - x^2) = 0 ), откуда ( x^2 = 0 ) или ( x^2 = 4 ), следовательно, ( x = 0, x = 2, x = -2 ).

4. Нахождение производной и критических точек. Производная функции: ( f'(x) = 8x - 4x^3 ). Решаем уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 8x - 4x^3 = 0 ] [ 4x(2 - x^2) = 0 ] Отсюда ( x = 0 ) или ( x^2 = 2 ), т.е. ( x = \pm \sqrt{2} ).

5. Исследование на экстремумы. Используя вторую производную ( f''(x) = 8 - 12x^2 ), определим выпуклость и вогнутость:

   • ( f''(0) = 8 > 0 ) — минимум в точке ( x = 0 ).
   • ( f''(\sqrt{2}) = 8 - 12 \times 2 = -16 < 0 ) — максимум в точке ( x = \sqrt{2} ).
   • ( f''(-\sqrt{2}) = -16 < 0 ) — максимум в точке ( x = -\sqrt{2} ).

6. Поведение на бесконечности. При ( x \to \pm\infty ), ( f(x) \to -\infty ), так как старший член ( -x^4 ) доминирует и отрицателен.

7. Построение графика. На основании собранной информации можем построить график:

   • Функция принимает максимальные значения в точках ( x = \pm \sqrt{2} ), где ( f(\sqrt{2}) = 4(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^4 = 8 - 4 = 4 ).
   • Функция имеет минимум в точке ( x = 0 ), где ( f(0) = 0 ).
   • График симметричен относительно оси ( y ) и имеет форму "W".

Это позволяет визуализировать функцию как волнообразную кривую с явными максимумами при ( x = \pm \sqrt{2} ) и минимумом в начале координат, при этом ветви функции уходят в бесконечность вниз при увеличении ( |x| ).

Для исследования функции f(x) = 4x^2 - x^4 необходимо найти ее производные, точки экстремума, асимптоты, и построить график.