Исследуйте функцию и постройте её график y=-x^4+8x^2-9

Для исследования функции y = -x^4 + 8x^2 - 9 находим производные функции и находим её нули.

1. Найдем производную функции y = -x^4 + 8x^2 - 9: y' = -4x^3 + 16x

2. Найдем нули производной: -4x^3 + 16x = 0 4x(-x^2 + 4) = 0 4x(x - 2)(x + 2) = 0

Таким образом, нули производной функции y = -x^4 + 8x^2 - 9: x = 0, x = 2, x = -2.

1. Теперь найдем значения функции в найденных точках: y(0) = -0^4 + 80^2 - 9 = -9 y(2) = -2^4 + 82^2 - 9 = -25 y(-2) = -(-2)^4 + 8*(-2)^2 - 9 = -25

Таким образом, точки экстремума функции: (0, -9), (2, -25), (-2, -25).

1. Теперь найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции: y'' = -12x^2 + 16

2. Найдем нули второй производной: -12x^2 + 16 = 0 x^2 = 16 / 12 x^2 = 4 / 3 x = ±2 / √3

Таким образом, точки перегиба функции: (-2 / √3, .), (2 / √3, .).

1. Построим график функции y = -x^4 + 8x^2 - 9.

График функции y = -x^4 + 8x^2 - 9 будет иметь форму параболы, открытой вниз, с вершиной в точке экстремума (0, -9) и дополнительными точками экстремума (2, -25) и (-2, -25). Точки перегиба также будут влиять на форму графика.

Таким образом, исследовав функцию и построив её график, мы получаем полное представление о её поведении и особенностях.

Исследование функции ( y = -x^4 + 8x^2 - 9 ) и построение её графика включают несколько шагов: нахождение области определения, анализ симметрии, вычисление производных для нахождения критических точек и экстремумов, определение точек перегиба и построение графика.

1. Область определения: Функция ( y = -x^4 + 8x^2 - 9 ) определена для всех ( x \in \mathbb{R} ), так как многочлены определены на всём множестве действительных чисел.

2. Симметрия: Рассмотрим, является ли функция чётной или нечётной. Для этого проверим, как функция ведёт себя при замене ( x ) на ( -x ): [ y(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 9 = -x^4 + 8x^2 - 9 = y(x). ] Поскольку ( y(-x) = y(x) ), функция является чётной. Это значит, что её график симметричен относительно оси ( y ).

3. Нули функции: Найдём точки пересечения графика функции с осью ( x ): [ -x^4 + 8x^2 - 9 = 0. ] Обозначим ( t = x^2 ), тогда уравнение примет вид: [ -t^2 + 8t - 9 = 0. ] Решим это квадратное уравнение: [ t^2 - 8t + 9 = 0, ] [ t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}. ] Поскольку ( t = x^2 ), то ( x^2 = 4 + \sqrt{7} ) или ( x^2 = 4 - \sqrt{7} ). Для действительных корней, ( 4 - \sqrt{7} ) должно быть неотрицательным: [ 4 - \sqrt{7} > 0 \Rightarrow \sqrt{7} < 4 \Rightarrow \sqrt{7} \approx 2.645 \Rightarrow 4 - 2.645 > 0. ] Тогда получаем: [ x = \pm\sqrt{4 + \sqrt{7}}, \quad x = \pm\sqrt{4 - \sqrt{7}}. ]

4. Критические точки и экстремумы: Найдём первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 8x^2 - 9) = -4x^3 + 16x. ] Приравняем её к нулю для нахождения критических точек: [ -4x^3 + 16x = 0, ] [ -4x(x^2 - 4) = 0, ] [ x(x^2 - 4) = 0, ] [ x(x - 2)(x + 2) = 0. ] Критические точки: ( x = 0, x = 2, x = -2 ).

5. Вторые производные и исследование на экстремумы: Найдём вторую производную: [ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(-x^4 + 8x^2 - 9) = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 16x) = -12x^2 + 16. ] Проверим знаки второй производной в критических точках: [ y''(0) = 16 > 0 \Rightarrow x = 0 \text{ - минимум}, ] [ y''(2) = -12(2)^2 + 16 = -48 + 16 = -32 < 0 \Rightarrow x = 2 \text{ - максимум}, ] [ y''(-2) = -12(-2)^2 + 16 = -48 + 16 = -32 < 0 \Rightarrow x = -2 \text{ - максимум}. ]

6. Точки перегиба: Точки перегиба находятся, когда вторая производная меняет знак. Решим уравнение ( y'' = 0 ): [ -12x^2 + 16 = 0, ] [ 12x^2 = 16, ] [ x^2 = \frac{4}{3}, ] [ x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}. ]

7. Построение графика: Теперь соберём все данные и построим график:

   • Функция симметрична относительно оси ( y ).
   • Пересечения с осью ( x ): ( x = \pm\sqrt{4 + \sqrt{7}}, x = \pm\sqrt{4 - \sqrt{7}} ).
   • Экстремумы: минимум в точке ( (0, -9) ), максимумы в точках ( (2, y(2)) ) и ( (-2, y(-2)) ), где ( y(2) = y(-2) = 7 ).
   • Точки перегиба: ( x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} ).

   График функции будет иметь вид перевёрнутой параболы четвёртой степени с максимумами в точках ( x = \pm 2 ) и минимумом в точке ( x = 0 ).