Исследуйте функцию y=3x^4-4x^2+1 на четность с объяснением, пожалуйста.

Для исследования функции ( y = 3x^4 - 4x^2 + 1 ) на чётность необходимо определить, является ли она чётной, нечётной или ни той, ни другой.

1. Определение чётной функции: Функция ( f(x) ) называется чётной, если для всех ( x ) из области определения выполняется равенство: [ f(-x) = f(x) ] Это значит, что график функции симметричен относительно оси ( y ).

2. Определение нечётной функции: Функция ( f(x) ) называется нечётной, если для всех ( x ) из области определения выполняется равенство: [ f(-x) = -f(x) ] Это значит, что график функции симметричен относительно начала координат.

Теперь проверим функцию ( y = 3x^4 - 4x^2 + 1 ) на чётность и нечётность.

Проверка на чётность:

Для этого подставим ( -x ) вместо ( x ) в функцию и упростим выражение: [ f(-x) = 3(-x)^4 - 4(-x)^2 + 1 ]

Теперь упростим каждое слагаемое: [ (-x)^4 = x^4 \quad \text{(так как четная степень не меняет знак)} ] [ (-x)^2 = x^2 \quad \text{(так как четная степень не меняет знак)} ]

Поэтому: [ f(-x) = 3x^4 - 4x^2 + 1 ]

Мы видим, что: [ f(-x) = f(x) ]

Таким образом, функция ( y = 3x^4 - 4x^2 + 1 ) является чётной, так как выполняется равенство ( f(-x) = f(x) ).

Проверка на нечётность:

Для этого подставим ( -x ) вместо ( x ) в функцию и сравним с (-f(x)): [ f(-x) = 3(-x)^4 - 4(-x)^2 + 1 = 3x^4 - 4x^2 + 1 ] [ -f(x) = -(3x^4 - 4x^2 + 1) = -3x^4 + 4x^2 - 1 ]

Мы видим, что: [ f(-x) \neq -f(x) ]

Таким образом, функция ( y = 3x^4 - 4x^2 + 1 ) не является нечётной.

Заключение:

Функция ( y = 3x^4 - 4x^2 + 1 ) является чётной, так как для всех ( x ) выполняется ( f(-x) = f(x) ).

Функция y=3x^4-4x^2+1 является четной. Это можно объяснить тем, что данная функция удовлетворяет условию f(-x) = f(x), то есть симметрична относительно оси ординат.

Функция y=3x^4-4x^2+1 является четной, если выполняется условие f(-x) = f(x) для всех x из области определения функции. Для данной функции подстановка значения -x вместо x дает:

f(-x) = 3(-x)^4 - 4(-x)^2 + 1 = 3x^4 - 4x^2 + 1 = f(x)

Таким образом, функция y=3x^4-4x^2+1 является четной функцией, так как значение функции при замене x на -x остается неизменным.