Исследуйте функцию y=e^x(2x+3) на монотонность и экстремумы. Помогите пожалуйста

Для исследования функции ( y = e^x(2x + 3) ) на монотонность и экстремумы, сначала найдем ее производную.

[ y' = e^x(2x + 3) + e^x \cdot 2 = e^x(2x + 3 + 2) = e^x(2x + 5) ]

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

[ e^x(2x + 5) = 0 ]

Так как экспонента никогда не равна нулю, у нас есть только одно решение: ( 2x + 5 = 0 ), откуда ( x = -\frac{5}{2} ).

Теперь проанализируем знак производной в окрестностях найденной точки. Для этого возьмем произвольные значения x: ( x_1 < -\frac{5}{2} ), ( x_2 = -\frac{5}{2} ), ( x_3 > -\frac{5}{2} ).

1. Если ( x_1 < -\frac{5}{2} ), то ( e^{x_1} > 0 ), ( 2x_1 + 5 < 0 ), следовательно, производная ( y' < 0 ) и функция убывает.
2. В точке ( x_2 = -\frac{5}{2} ) производная обращается в нуль, что указывает на наличие локального экстремума.
3. Если ( x_3 > -\frac{5}{2} ), то ( e^{x_3} > 0 ), ( 2x_3 + 5 > 0 ), следовательно, производная ( y' > 0 ) и функция возрастает.

Таким образом, функция ( y = e^x(2x + 3) ) убывает на интервале ( (-\infty, -\frac{5}{2}) ), имеет локальный минимум в точке ( x = -\frac{5}{2} ) и возрастает на интервале ( (-\frac{5}{2}, +\infty) ).

Давайте проведём исследование функции ( y = e^x (2x + 3) ) на монотонность и экстремумы. Для этого нам нужно найти первую и вторую производные функции и провести их анализ.

1. Первая производная:

Функция ( y = e^x (2x + 3) ) является произведением двух функций ( u(x) = e^x ) и ( v(x) = 2x + 3 ). Для нахождения первой производной воспользуемся правилом произведения:

[ y' = u'v + uv' ]

где: [ u' = e^x, ] [ v' = 2. ]

Подставляем:

[ y' = e^x (2x + 3)' + (e^x)' (2x + 3) ] [ y' = e^x \cdot 2 + e^x \cdot (2x + 3) ] [ y' = 2e^x + e^x (2x + 3) ] [ y' = 2e^x + 2xe^x + 3e^x ] [ y' = e^x (2 + 2x + 3) ] [ y' = e^x (2x + 5) ]

1. Исследование на монотонность:

Функция ( y = e^x (2x + 3) ) монотонна там, где её производная положительна или отрицательна.

Знак первой производной ( y' = e^x (2x + 5) ) зависит от знака выражения ( 2x + 5 ), так как ( e^x > 0 ) для всех ( x ).

Рассмотрим выражение ( 2x + 5 ): [ 2x + 5 > 0 \Rightarrow x > -\frac{5}{2} ] [ 2x + 5 < 0 \Rightarrow x < -\frac{5}{2} ]

Таким образом:

• При ( x > -\frac{5}{2} ), ( y' > 0 ) и функция возрастает.
• При ( x < -\frac{5}{2} ), ( y' < 0 ) и функция убывает.

1. Нахождение экстремумов:

Экстремумы могут находиться в точках, где производная равна нулю:

[ y' = 0 ] [ e^x (2x + 5) = 0 ]

Так как ( e^x \neq 0 ), то: [ 2x + 5 = 0 ] [ 2x = -5 ] [ x = -\frac{5}{2} ]

Проверим знак второй производной в этой точке, чтобы определить характер экстремума.

1. Вторая производная:

Для нахождения второй производной используем производную первой функции ( y' = e^x (2x + 5) ):

[ y'' = (e^x (2x + 5))' ] [ y'' = (e^x)' (2x + 5) + e^x (2x + 5)' ] [ y'' = e^x (2x + 5) + e^x \cdot 2 ] [ y'' = e^x (2x + 5) + 2e^x ] [ y'' = e^x (2x + 5 + 2) ] [ y'' = e^x (2x + 7) ]

Теперь проверим знак второй производной в точке ( x = -\frac{5}{2} ):

[ y''\left(-\frac{5}{2}\right) = e^{-\frac{5}{2}} \left(2 \cdot -\frac{5}{2} + 7\right) ] [ y''\left(-\frac{5}{2}\right) = e^{-\frac{5}{2}} \left(-5 + 7\right) ] [ y''\left(-\frac{5}{2}\right) = e^{-\frac{5}{2}} \cdot 2 ]

Поскольку ( e^{-\frac{5}{2}} > 0 ) и ( 2 > 0 ), то ( y''\left(-\frac{5}{2}\right) > 0 ).

Следовательно, функция имеет минимум в точке ( x = -\frac{5}{2} ).

1. Заключение:

• Функция ( y = e^x (2x + 3) ) убывает на интервале ( (-\infty, -\frac{5}{2}) ) и возрастает на интервале ( (-\frac{5}{2}, +\infty) ).
• В точке ( x = -\frac{5}{2} ) функция имеет минимум.

Таким образом, мы исследовали функцию ( y = e^x (2x + 3) ) на монотонность и экстремумы, выявив убывание, возрастание и наличие минимума.