Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, одновременно отправились плот и катер. Прибыв...

Для решения данной задачи воспользуемся принципом равенства времени движения. Обозначим скорость катера как V, расстояние от пункта А до пункта В как D, время движения плота и катера как t1 и t2 соответственно.

Так как к моменту возвращения катера в пункт А плоту оставалось проплыть ровно четвертую часть расстояния, то плот проплыл 3/4*D за время t1, а катер проплыл D за время t2.

Учитывая, что скорость течения реки равна 3 км/ч, можем записать уравнения движения для плота и катера:

1) 3/4D = (V-3)t1 2) D = (V+3)*t2

Так как t1 = t2, подставляем t2 из уравнения 2 в уравнение 1:

3/4D = (V-3)D/(V+3)

Упростим уравнение, выразим V:

3/4 = (V-3)/(V+3) 3(V+3) = 4(V-3) 3V + 9 = 4V - 12 V = 21

Таким образом, собственная скорость катера равна 21 км/ч.

Для решения задачи давайте обозначим:

• ( v_c ) — собственная скорость катера (в км/ч), которую нам нужно найти.
• ( v_t = 3 ) км/ч — скорость течения реки.
• ( d ) — расстояние между пунктами A и B (в км).

1. Определим время движения плота:

Плот движется со скоростью течения, то есть ( 3 ) км/ч. К моменту возвращения катера в пункт A плоту оставалось проплыть четвёртую часть расстояния ( d ). Значит, плот успел проплыть ( \frac{3}{4}d ).

Время, за которое плот проплыл ( \frac{3}{4}d ), равно: [ t_{\text{плота}} = \frac{\frac{3}{4}d}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{3} = \frac{d}{4} \text{ часов}. ]

1. Определим движение катера:

Катер движется от A до B и обратно. При движении вниз по течению его скорость составляет ( v_c + 3 ) км/ч, а при движении вверх против течения — ( v_c - 3 ) км/ч.

Время, которое катер тратит на путь от A до B: [ t_1 = \frac{d}{v_c + 3}. ]

Время, которое катер тратит на путь от B до A: [ t_2 = \frac{d}{v_c - 3}. ]

Общее время движения катера (туда и обратно) равно: [ t_{\text{катера}} = t_1 + t_2 = \frac{d}{v_c + 3} + \frac{d}{v_c - 3}. ]

1. Составим уравнение:

Поскольку катер и плот начали движение одновременно и к моменту возвращения катера в A плоту оставалось проплыть четверть пути, их времена равны: [ t_{\text{катера}} = \frac{d}{4}. ]

Подставим полученные выражения: [ \frac{d}{v_c + 3} + \frac{d}{v_c - 3} = \frac{d}{4}. ]

Сократим на ( d ): [ \frac{1}{v_c + 3} + \frac{1}{v_c - 3} = \frac{1}{4}. ]

Приведем левую часть к общему знаменателю: [ \frac{v_c - 3 + v_c + 3}{(v_c + 3)(v_c - 3)} = \frac{1}{4}. ]

Упростим числитель: [ \frac{2v_c}{v_c^2 - 9} = \frac{1}{4}. ]

Перемножим крест-накрест: [ 8v_c = v_c^2 - 9. ]

Перенесем все влево и преобразуем: [ v_c^2 - 8v_c - 9 = 0. ]

1. Решим квадратное уравнение:

Используем дискриминант: [ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. ]

Корни уравнения: [ v_{c1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}. ]

Получаем два корня: [ v{c1} = \frac{18}{2} = 9, ] [ v{c2} = \frac{-2}{2} = -1. ]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, собственная скорость катера ( v_c = 9 ) км/ч.

Таким образом, собственная скорость катера равна ( 9 ) км/ч.