Из всех прямоугольников с диагональю 18 см найдите прямоугольник наибольшей площади.

Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью среди всех прямоугольников с фиксированной диагональю, нужно воспользоваться свойствами геометрических фигур.

Пусть ( a ) и ( b ) — стороны прямоугольника, а ( d ) — его диагональ. Согласно теореме Пифагора, для прямоугольника выполняется:

[ a^2 + b^2 = d^2 ]

Поскольку диагональ равна 18 см, то:

[ a^2 + b^2 = 18^2 = 324 ]

Площадь прямоугольника ( S ) равна произведению его сторон:

[ S = a \times b ]

Наша задача — максимизировать ( S = a \times b ) при условии, что ( a^2 + b^2 = 324 ).

Для этого можно использовать метод Лагранжа или применить геометрическое рассуждение. Известно, что для заданной диагонали прямоугольник с наибольшей площадью является квадратом. Это связано с тем, что среди всех прямоугольников с фиксированным периметром или фиксированной диагональю квадрат имеет наибольшую площадь.

Если прямоугольник является квадратом, то ( a = b ). Подставим это в уравнение:

[ a^2 + a^2 = 324 ]

[ 2a^2 = 324 ]

[ a^2 = 162 ]

[ a = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} ]

Следовательно, стороны квадрата равны ( 9\sqrt{2} ) см. Площадь этого квадрата будет:

[ S = (9\sqrt{2}) \times (9\sqrt{2}) = 81 \times 2 = 162 \text{ см}^2 ]

Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью среди всех прямоугольников с диагональю 18 см — это квадрат со стороной ( 9\sqrt{2} ) см, и его площадь равна 162 см².

Для нахождения прямоугольника наибольшей площади с диагональю 18 см, мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольника: S = a * b, где a и b - стороны прямоугольника.

Так как диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения сторон прямоугольника. Пусть одна сторона прямоугольника равна a, а другая - b. Тогда по теореме Пифагора имеем: a^2 + b^2 = 18^2.

Для нахождения прямоугольника наибольшей площади нужно решить задачу оптимизации, то есть найти максимум функции площади прямоугольника S = a * b при условии a^2 + b^2 = 18^2.

Когда мы решим это уравнение, мы найдем значения сторон прямоугольника, которые обеспечат максимальную площадь.

Чтобы найти прямоугольник наибольшей площади с заданной диагональю, нужно выбрать квадрат, так как квадрат имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников с данной диагональю.