Известно что x²+49/x²=50 найдите значение выражения x-7/x

Для решения этой задачи начнем с уравнения, которое дано: [ x^2 + \frac{49}{x^2} = 50. ]

Для дальнейших вычислений введем замену: [ y = x + \frac{7}{x}. ] Тогда: [ y^2 = \left(x + \frac{7}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{7}{x} + \frac{49}{x^2} = x^2 + 14 + \frac{49}{x^2}. ]

Подставим известное значение: [ x^2 + \frac{49}{x^2} = 50, ] тогда [ y^2 = 50 + 14 = 64. ] Отсюда [ y = \sqrt{64} = 8 \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{64} = -8. ]

Значит, ( x + \frac{7}{x} ) может быть равно либо 8, либо -8. Это и будет искомым значением выражения ( x - \frac{7}{x} ).

Для начала преобразуем уравнение x² + 49/x² = 50. Умножим обе части уравнения на x², чтобы избавиться от дроби в знаменателе: x² (x² + 49/x²) = 50 x² x⁴ + 49 = 50x² x⁴ - 50x² + 49 = 0 Теперь это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной x². Заменяем x² на переменную t: t² - 50t + 49 = 0 (t - 1)(t - 49) = 0 t₁ = 1, t₂ = 49 Теперь найдем значения x²: x² = 1 или x² = 49 Для x² = 1: x = ±1 Для x² = 49: x = ±7 Теперь выразим значение выражения x - 7/x: При x = 1: 1 - 7/1 = 1 - 7 = -6 При x = -1: -1 - 7/-1 = -1 + 7 = 6 При x = 7: 7 - 7/7 = 7 - 1 = 6 При x = -7: -7 - 7/-7 = -7 + 1 = -6 Таким образом, значение выражения x - 7/x равно -6 или 6.